公务员考试容斥原理问题

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1、知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。 在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。 核心点拨1、题型简介 容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。 2、核心知识 （1

2、）两个集合容斥关系 （2）三个集合容斥关系 A、标准型公式 B、图示标数型（文氏图法） 画图法核心步骤： 1 画圈图； 2 数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)； 做计算。 C、整体重复型 A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）； W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）； x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）； y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）； z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。 3、核心知识使用详解 （1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。 （2）

3、容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。 （3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。 夯实基础1. 两个集合容斥关系 例1：(2007年中央第50题) 小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（ ）。 A. 3道B. 4道C. 5道D. 6道【答案】 D【解析】 题钥 由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。 “小明答对的题目占题目总数的”，相当于集合A为。 “小强答对了27

4、道题”，相当于集合B为27。 “他们两人都答对的题目占题目总数的”，相当于集合。 “两人都没有答对的题目”，相当于求集合。 解析 根据题意， 确定元素总量W：； 确定集合A：； 确定集合B：27； 确定集合：； 代入两集合公式： 因为和均为题数，须均为正整数，所以必须为12的倍数，而且由选项知：36 当W12时，16，不合题意； 当W24时，5，不合题意； 当W36时，6，符合题意。 所以，两人都没答对的题目为6道。 因此，选B。2. 三个集合容斥关系 例2：（浙江行测真题） 某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课

5、的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？( ) A. 1人B. 2人C. 3人D. 4人【答案】 B【解析】 题钥 “某专业有学生50人”，相当于元素总量W为50。 “有40人选修甲课程”，相当于集合A为40。 “36选修乙课程”，相当于集合B为36。 “30人选修丙课程”，相当于集合C为30。 “兼选甲、乙两门课的有28人”，相当于集合=28。 “兼选甲、丙两门课的有26人”，相当于集合=26。 “兼选乙、丙门课程的有24人”，相当于集合=24。 “甲、乙、丙三门课程均选的有20人”，相当于集合=20。 “

6、问三课均未选的有多少人?”相当于求集合。 解析 根据题意， 确定元素总量W：50 确定集合A：40 确定集合B：36 确定集合C：30 确定集合：28 确定集合：26 确定集合：24 确定集合：20 代入三集合标准型公式： 50-（40+36+30-28-24-26+20） 2 因此，选B。例3：（国家行测真题） 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？( ) A.

7、120B. 144C. 177D. 192【答案】 A【解析】 题钥 观察题目，属于三个集合容斥关系中的标数型问题，可采用文氏图法求解。 解析 本题属于标数型问题，可采用文氏图法求解，如下图所示。 图中，黑色部分是准备参加两种考试的学生，灰色部分是准备参加三种考试的学生。计算总人数时，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以接受调查的学生共有： 6389472424615120人。 因此，选A。例4：(浙江200420) 某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。

8、如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？( ) A. 15人B. 16人C. 17人D. 18人【答案】 A【解析】 题钥 “某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”，相当于元素总量W为35。 “参加英语小组的有17人”，相当于集合A为17。 “参加语文小组的有30人”，相当于集合B为30。 “参加数学小组的有13人”，相当于集合C为13。 “如果有5个学生三个小组全参加了”，相当于元素数量3为5。 “问有多少个学生只参加了一个小组？”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。 解析 根据题意，设： 参加一个小组的人数为

9、x，即元素数量1为x； 参加两个小姐的人数为y，即元素数量2为y； 确定元素总量W：38 确定集合A：17 确定集合B：30 确定集合C：13 确定元素数量3：5 代入公式，列方程： 因此，选A。进阶训练1.两个集合容斥关系 例5：某校学生参加数学竞赛的有120名男生，80名女生，参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?( ) A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】 A【解析】 题钥 假设260名学生当中有m名男生、n名女生，同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为

10、x。 对于男生： “m名男生”，相当于元素总量为m。 “参加数学竞赛的有120名男生”，相当于集合为120。 “参加英语竞赛的”，“80名男生”，相当于集合为80。 “其中75名男生两科竞赛都参加了”，相当于集合为75。 对于女生： “n名女生”，相当于元素总量为n。 “参加数学竞赛的”、“80名女生”，相当于集合为80。 “参加英语竞赛的有120名女生”，相当于集合为120。 同时参加了教学和英语竞赛的女生人数，相当于集合为x。 “已知该校总共有260名学生参加竞赛”，可知260名学生都参加了竞赛，没有“数学竞赛和英语竞赛都没参加”的情况。相当于集合、集合为0。 解析 根据题意，设： 260

11、名学生当中有m名男生、n名女生； 同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。 对于男生： 确定元素总量：m 确定集合：120 确定集合：80 确定集合：75 确定集合：0 对于女生： 确定元素总量：n 确定集合：80 确定集合：120 确定集合：x 确定集合：0 男女生总数，即mn260。 代入两集合公式，列方程： 则有 即同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为65。 由于参加数学竞赛的女生有80名， 则参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数： 806515名。 因此，选A。2.三个集合容斥关系 例6：(广州200733) 如右图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠

12、部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为?( ) A. 66B. 68C. 70D. 72【答案】 C【解析】 题钥 “三个圆纸片覆盖的总面积为88”，相当于元素总量W为88，集合为0。 “每个圆纸片的面积都是36”，相当于集合A、集合B、集合C都为36。 “圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9”，相当于集合为7，集合为6，集合为9。 要求“阴影部分的面积”，可先求出集合。 解析 根据题意， 确定元素总量W：88 确定集合A：36 确定集合B：36 确定集合C：36 确定集合：7 确定集合：6 确定集合：9 确定集合：0 代入公式：

13、=（88-0）-（36+36+36-7-6-9） =2 “由中间向外围”进行数据标记，进行简单加减运算，如下图过程所示： 据图可知，阴影部分的面积为：22252370。 因此，选C。例7：(江苏2009A类19) 某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )。 A. 69B. 65C. 57D. 46【答案】 D【解析】 题钥 “某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查”、“20人一部也没有看过”，相当于元素总量W为1252

14、0105。 “有80人看过甲片”，相当于集合A为89。 “有47人看过乙片”，相当于集合B为47。 “有63人看过丙片”，相当于集合C为63。 “其中有24人三部电影全看过”，相当于元素数量3为24。 求解“只看过其中两部电影的人数”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。 解析 根据题意，设： 只看过其中一部电影的人数为x，即元素数量1为x； 看过其中两部电影的人数为y，即元素数量2为y； 确定元素总量W：12520105 确定集合A：89 确定集合B：47 确定集合C：63 确定元素数量3：24 代入公式，列方程： 因此，选D。例8：建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢羽毛球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？ A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】 B【解析】 题钥 观察题目，发现采用公式法，文氏图法都是比较麻烦的