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1、第 五 次课 2学时 本次教学重点： 离散型随机变量与分布列，分布函数及其基本性质，常见的几种离散型分布 本次教学难点：随机变量的分布函数本次教学内容：第二章 随机变量及其分布函数第一节 随机变量的直观意义与定义一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（=k）,从而有P(=k)= q=1-p
2、 并且的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，n2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定若试验结果出现正面, 令=1, 从而试验结果出现正面=（=1）；若试验结果出现反面, 令=0, 从而试验结果出现反面=（=0）。为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，
3、通常称这种量为随机变量。从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系二、随机变量的定义定义 设是一概率空间，对于是一个取实值得函数；若对于任一实数是一随机事件，亦即，则称为随机变量.为书写方便，简写为，事件记为通常用希腊字母或大写字母X,Y,Z等表示随机变量随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数, 只不过在函数概念中，f(x)的自变量x为实数
4、，而随机变量的概念中，随机变量（）的自变量为样本点，因为对每个试验结果都有函数（）与之对应，所以（）的定义域是样本空间，值域是实数域。但随机变量在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数为随机变量，的可能取值为0，1，2例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量,的可能取值为。例3：考察某一地区全年的温度的变化情况，则某一地区的温度为随机变量，的可能取值为 。例4：大炮对某一目标射
5、击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。三随机变量的分类从随机变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则该随机变量为离散型随机变量，不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量，若随机变量的取值是连续的，称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量的特殊情形。从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量，（一）一维随机变量及分布列1定义定义2：定义在样本空间上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量称为一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量。讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个
6、方面：一是随机变量的所有可能取值；更主要的的是搞清楚随机变量取这些可能值的概率。例5：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，则取到的黑球数为随机变量,的可能取值为0，1，2。习惯上，把它们写成0122、分布律 如果离散型随机变可能取值为 相应的取值的概率 称 为随机变量的分布列，也称为分布律，简称分布。 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：或 例6：在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率p，令=5次试验中事件A出现的次数。则 k=0,1,2,3,4,5于是的分布列为0 1 2 3 4 5 3、分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的
7、分布列 都具有下述性质：非负性：1）规范性：2） 反过来，任意一个具有以上性质的数列都可以看成某一个随机变量的分布列。分布列不仅明确地给出了的概率，而且对于任意的实数a0是某个常数，易验证1）P（）0 k=0.1.22）=1也就是说，若的分布列为 k=0.1.2（0）称服从参数为的普哇松（Poisson）分布，记为p(k; )在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson 分布来描述。从而使得Poisson分布对于概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明Poisson分布在理论上也具有特殊重要的地位。下面介绍Poisson分布与二项分布之间的关系Th2.1（Poisson定理）在
8、n 重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关）。若当时（0常数）。则有 k=0.1.2这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算b(k;n,p)=，当n和k都比较大时。计算量比较大，若此时np不太大（即p较小）那么由Poisson定理就有b(k;n,p) 其中，而要计算用的Poisson分布表可查。例10.已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？解：设该单位患这种疾病的人数为 .则 其中b(k;5000,1/1000)=这时如果直接计算计算量较大。由于n很大。P较小。而np=5不很大。可以利用
9、Poisson定理查Poisson分布表得于是例11由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解：设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为a件则当时就不会脱销。因而按题意要求为 又 查Poisson分布表得 于是这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上月没有存货）就可以以95%的把握保证这种商品在下个月不会脱销。二、分布函数及其基本性质我们研究了离散型随机变量，在那里随机变量只取有限个或可列个值，这当然有很大的局限性。在许多随机现象中出现的一些变量，如“测量某地的气温”，“某型号
10、显象管的寿命”“某省高考体检时每个考生的身高、体重”等，它们的取值是可以充满某个区间或区域的（也就不会只取有限个或可列个值），对于这样的随机变量，如何描述它们的统计规律呢？我们首先引入分布函数的概念。（一）、分布函数的概念1、定义：设为一随机变量，令称是随机变量的概率分布函数，简称为分布函数或分布。分布函数实质上就是事件的概率。2、分布函数的性质 由概率的性质可知：1）非负性： 2）单调性： 若则3）若 进一步 4）极限性：证：因为，所以都存在，又由概率的完全可加性有所以必有即 5）左连续性：证：因为是单调有界函数，其任一点的左极限必存在，为证明其左连续性，只要对某一列单调上升的数列证明：成立
11、即可。这时，有由此可得2）、4）、5）是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明，任一个满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数。因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数。知道了随机变量的分布函数，不仅掌握了的概率，而且还可以计算下述概率： 由此可以看出，上述这些事件的概率都可以由算出来，因此全面地描述了随机变量的统计规律。既然分布函数能够全面地描述一般的随机变量的统计规律，因而分布函数这个概念比分布列更重要。不过，对离散型随机变量来说，用的较多的还是分布列，那是因为它比较方便的缘故。三、离散型随机变量的分布函数设为一个离散型随机变量，它的分布列为 则的分布函数为对离散型随机变量，用得较多的还是分布列。例1若服从退化分布，即有，则的分布函数为例2若服从两点分布1 0P
