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1、-第四章随机变量的特征数每个随机变量都有一个概率分布分布函数，或分布律、概率密度，这个分布完整地刻画了随机变量的统计规律性。然而在许多实际应用问题中，人们更关注这个概率分布的一些综合特征，这些综合特征是概率分布*方面信息的概括并且可用一个数值表示。这种由随机的分布确定的，能刻画随机变量*方面特征的常数统称为数字特征或特征数。例如，考虑*种元件的寿命，如果知道了其寿命的概率分布，则就把握了元件寿命的所有概率信息。比方可以计算出寿命在任一指定围的概率。根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，以及用以刻画寿命值的散布程度或稳定程度的特征数-方差.这些特征数虽不能对寿命状况提供
2、完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目的数值刻画随机变量的*种特征,这也使得应用方便.4.1 随机变量的数学期望一. 数学期望的定义定义设离散型随机变量的分布律为，如果则称为的数学期望，记为，即假设级数不绝对收敛，则称的数学期望不存在。由以上定义可看出，假设只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。而假设取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数是否绝对收敛，这个要求的目的在于使期望值唯一。因为假设无穷级数只是条件收敛，则可通过改变这
3、个级数各项的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与的取值的排列次序有关，而作为刻画取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与的取值的排列次序有关。由定义，的期望值就是其所有可能取值的加权平均，每个可能值的权重就是取该值的概率，因此的数学期望又称为的均值。同时还可看出的数学期望只依赖于的概率分布，因此随机变量的期望又叫分布的期望。期望的定义可以用概率的频率定义来解释:设想是一个时机游戏的*个参与者的所得,每次游戏,该参与者以概率赢得元.如果他连续屡次玩这个游戏,比方次,赢得元的次数记为次,则在次游戏中,他平均所得为.由概率的频率定义,在
4、很大时,频率近乎概率,则上述平均值近乎于期望值.对于连续型随机变量,以积分代替求和,从而得到连续型随机变量的期望的定义.定义设连续型随机变量的密度函数为，如果则称为的数学期望，简称为期望或均值.假设不收敛，则称的数学期望不存在.注:期望这一概念可类比于质量分布的质心这一物理概念.把概率分布看作质量在轴上的分布.在离散场合,概率看作点处的质量,则该质量分布的质心的坐标为，即为期望值.在连续场合,概率密度函数相应于质量分布密度,质量分布的质心的坐标为，同样是期望值.例4.1.1 (1)设随机变量的分布律为的数学期望是否存在例4.1.2 按规定，*车站每天8:009:00,9:0010:00都各有一
5、辆客车到站，且到站时刻是随机的，两者到站时间相互独立，其规律为到站时刻8:109:108:309:308:509:50概率一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。解设旅客候车时间记为单位：min,则的分布律为1030507090因此的数学期望为(min).例4.1.3 在一个人数很多的团体中普查*种疾病,为此需抽验个人的血,可以用两种方法进展.(i)将每个人的血分别去验,这需要验次.(ii)按个人一组进展分组,把个人的血混在一起进展检验,如果这混合血液呈阴性反响,说明个人的血都呈阴性反响.这样,个人的血液就只需验一次.假设呈阳性,则再对这个人的血液逐一检验.这样,个人的血液就共需验次.假
6、设每个人血液化验呈阳性的概率为,且这些人的试验反响是相互独立的.试说明当较小时,选取适当的,按第二种方法可以减少化验次数,并说明取什么值时最适宜.解设个人以为一组时,个人共需化验的次数为,则的分布律为这里.的数学期望为,由此可知,只需选取使得,即,便可使第二种方法减少平均化验次数.要使最大程度地减少平均化验次数,需选取使得小于1且取到最小值.这时就能得到最好的分组方法.例如,则当时得到最好的分组方法.假设,则按第二次方法平均只需化验次数为,这样平均来说,可以减少40%的工作量.例4.1.4 随机变量的密度函数为求.解：.二. 随机变量函数的期望如果知道了随机变量的概率分布分布律或概率密度，我们
7、可以利用其概率分布计算的数学期望。而计算的函数比方的期望是经常遇到的问题，既然本身也是一个随机变量，有自己的概率分布，这个分布可通过的概率分布确定，一旦确定了的概率分布，则我们利用的概率分布计算出。容易想到的数学期望完全取决于的概率分布，则我们很自然地希望能直接利用的概率分布去计算的数学期望.下面定理解决了这个问题。定理设随机变量的函数.1设随机变量的分布律为，假设绝对收敛，则的数学期望为.2设随机变量的密度函数，假设，则的数学期望为.定理的证明超出了本书的围.下面我们就是离散型随机变量的特殊情形下给出证明.证明:设是离散型随机变量,其分布律为，则的分布律为，,其中是的所有可能的取值,从而有.
8、由上述定理知,在求时,不必算出概率分布,可直接利用的概率分布去计算的期望.这种方法可推广至多个随机变量的函数的情形.我们以两个随机变量的函数的情形给出结论.设二维随机向量的联合分布律为假设，则的数学期望为.设二维随机向量的概率密度为，假设，则的数学期望为.特别地，假设二维连续型随机向量的概率密度为,求分量,或其函数的期望时，我们可以先求出的边缘密度,然后再计算或的的期望.也可以直接利用的概率密度为去计算:,.对于离散情形也类似,具体计算时就看哪种方法更方便.例4.1.5 设随机变量的密度函数为，(1)问的数学期望是否存在(这种分布称为柯西分布)(2)求.解 (1)由于所以的数学期望不存在.(2
9、).细心的同学可以发现，本例中随机变量既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，但我们可以利用的概率密度求出其数学期望。例4.1.6 设随机向变量的概率密度为求；解:，.例设随机变量独立同分布于指数分布，求。解:的分布函数为从而的分布函数为故的密度函数为所以.注意：一般而言，求的概率分布并不方便。但有些场合下，的概率分布可以方便地求出来，此时也可考虑先求出的概率分布，然后求。比方，1为离散型随机向量时，的分布列可能很容易求出.2在独立同分布时，他们的最大值，或最小值的概率密度可容易地求出.三. 数学期望的性质由随机变量函数的期望的计算公式，可以得到数学期望的重要性质.数学期望具有如下性质以下
10、我们假定涉及到的期望是存在的.1.设是常数，则.2. 设是常数，则. 3. .这一性质可推广至任意有限个随机变量的线性组合的情况：4假设相互独立，则这一性质可推广至任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。利用以上性质可以使复杂的计算变得简单.下面就是连续型随机向量情形证明3和4。证明假设是是连续型随机向量，其概率密度为，。假设相互独立，则，从而例设独立同分布，且，求的期望。解：。例设，求解:另解:设独立同分布于，则，从而二项分布的期望为。例将一骰子掷次,求次的点数之和的数学期望.本例中,如去求的分布列将会非常困难,即使求出了其分布列,再求期望时,其运算量也是非常大的.如能将表示为一些简单随机变
11、量之和,就可以极简化计算.解:令表示第次的点数,则,且独立同分布,其共同的分布列为所以由期望的性质可得，例设有件产品,其中有件不合格,从中不放回地取件,求其中不合格品件数的数学期望.易见服从超几何分布,我们可以利用其分布求出的数学期望，也可以利用期望的性质求出的数学期望，这里我们用两种方法求出的数学期望.解：的分布律为另解:令,即表示第次抽取的件产品中不合格品件数,则,且由期望的性质,.例服从负二项分布,即的分布律为求解:先求超几何分布的期望,设,则考虑幂级数从而设独立同分布于，则服从负二项分布,从而二项分布的期望为。例一个盒子中装有标上至的票券,以有放回方式一一地取.如果想收集到不同的票券,
12、所需的抽取次数记为,求的期望.解:记依次表示对一新票券的等待时间(次数),即表示在得到第新票券后到得到第新票券所需的抽取次数(.而,则由于服从参数为的几何分布,所以,故下面看两种特殊情况:(假设为偶数),并假定足够大.时,时,可见收集到一半票券平均需要抽取次数大约是总票券数的70%,而收集全部票券,则平均需要总票券数的倍的抽取次数,可见越往后越难以收集.在完毕本节前，我们再看一个例子。例快速排序算法设有一组互不一样的数.将它们排成上升的序列.一种快速排序算法如下:随机地从中选一个数,设为,然后将其余的数都与作比拟,将小于的数归入的左边一个集合,将大于的数归入的右边一个集合,然后再对左、右两个集
13、合的数重复刚刚的处理过程(如果集合是单点集就不用处理).直到把所有数排成上升序列为止.记表示为实现排序所需的比拟次数,则是排序算法效率的一个度量,下面计算.先将最小的数命名为，第二小的数命名为，最大的数命名为，对于，令则由于故且。补充：试验序列中事件发生次数的矩对于给定的事件序列，求，其中表示这些事件在试验中的发生次数。引入每个事件的示性函数，则，可得现在感兴趣于“事件对发生的次数.易见是事件对发生的次数。又由于表示这些事件在试验中的发生次数，故，从而类似地有，及，从而可求得的各阶矩。例二项分布的各阶矩考虑重贝努利试验，表示成功的次数，设每次试验成功的概率为，则，下面计算的各阶矩。令则，从而，
14、得，从而，得一般地有。例超几何分布的矩设一盒子中有个球，其中个白球，个黑球。现从中随机地抽取个球，表示取出的白球数。下面计算的各阶矩。令则，从而，得。一般地有。例配对数的矩表示配对数。下面计算的各阶矩。令则，从而，得。一般地有.例(另一优惠券收集问题) 设有种不同的优惠券,每次收集到新优惠券均与以前收集到的优惠券相互独立.假设得到优惠券的概率为,当收集到优惠券时,不同类型的优惠券的类别数记为,求的期望与方差.记表出未收集到的类别数,令则,从而,从而由于,故,特别当时, ,例负超几何分布的矩设一袋子中共有个球，其中个红球，个白球，每次从袋子中不放回地任取一个球，直至取出个红球为止，记为总共取出的球的个数，则的分布称为负超几何分布。易见的分布列为止，下面计算的期望和方差，令为取出的白球个数，则。设想个白球分别编号，令则，且，故，所以。注意到，所以例游程的期望数设有个和个随机地排成1一个序列，表出1的游程数，求。令则而，故. z.
