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1、、函数、极限、连续重要概念公式定理一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列x，如果存在常数A，对任给，0,存在正整数N，使当nN时，恒有n|x-A,，则称A是数列x的当n趋于无穷时的极限，或称数列x收敛于A，记为limx=A.若nnnnTgnx的极限不存在则称数列x发散.nn收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列x收敛，即limx=A，则极限是唯一的.nn(2)有界性：若limx=A，则数列x有界,即存在M0,使得对Vn均有|x|0(或A0)，则存在正整数N，当nN时，有x0(或x0).nnnnTg(4)若数列收敛于A，则它的任何子列也收敛于极限A.二)函数极限的定义名称表达式
2、任给存在当时恒有当xTx时，f(x)以0A为极限limf(x)=AxTx00S00|x-x|S0If(x)_A0X0|x|XIf(x)-Al，当xTx+0时，f(x)0以A为右极限limf0S0xxx+S00If(x)-Al，当xTx-0时，f(x)0以A为左极限limf(x)=AxTx-defd(x-0)0S0x-Sxx00If(x)-A|,当xT+gt，fx)以A为极限limf0X0xXIf(x)-A|，当xT-g时，f(x)以A为极限limf(x)=Adefd(-g)0X0x0,当x,xo0|x-x|8,0|x-x|8时，有|f(x)-fa?)|0,当0|xx|8时，有(x)f(x)(x
3、)，且lim中(x)=lim(x)=A,则x,x(0x,x(0limf(x)=A.x，x05.单调有界准则：若对于任意两个充分大的x,x,xx，有f(x)f(x),且存在12121212常数M，使f(x)M)，则limf(x)存在.x,+8(四)无穷小量的比较(重点记忆)1.无穷小量阶的定义，设lima(x)=0,limp(x)=0.若lim=0,则称a(x)是比p(x)高阶的无穷小量.若lim習=也则a(x)是比卩(x)低阶的无穷小量.p(x)若lim琴=c(c0),则称a(x)与卩(x)是同阶无穷小量p(x)若lim=1,贝9称0,则称a(x)是p(x)的k阶无穷小量卩k(x)2.常用的等
4、价无穷小量(命题重点，历年必考)x，x0x，x0x，x0当x,0时,sinx“arcsinx”tanxarctanxln(1+x)x,1cosxx22(1+x)a1ax(a是实常数)ex-1五)重要定理(必记内容，理解掌握)定理1limf(x)=Af(x)=f(x)=A.0+0x，x0定理2limf(x)=Af(x)=A+a(x),其中lima(x)=0.x,x(0x,x(0定理3(保号定理)：设limf(x)=A,又A0(或A0,当x，x0xe(x8,x+8),且xx时，f(x)0(或f(x)0).000定理4单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理5(夹逼
5、定理)：设在x的领域内，恒有(x)f(x)(x),且0lim中(x)=lim(x)=A,则limf(x)=Ax，x0x，x0x，x0定理6无穷小量的性质：(1) 有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2) 有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3) 无穷小量乘以有界变量为无穷小量定理7在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量定理8极限的运算法则：设limf(x)，A,limg(x)，B，则(1) lim(f(x)土g(x)，A土B(2) limf(x)g(x)，AB(3) lim，(B工0)g(x)B定理9数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限
6、定理10初等函数在其定义域的区间内连续定理11设f(x)连续,则If(x)|也连续.六)重要公式(重点记忆内容,应考必备)sinx(1) lim，1xT0x(2) lim(1+x):，e,lim(1+-)n，e.(通过变量替换，这两个公式可写成更加一般的形式：设xT0nfglimf(x)，0，且f(x)丰0则有limsinf(x，1,lim1+f(x)ft)，e)220,n+g速度由慢到快(6)几个常用极限lim-a(a“0)，1,nTglim-n，1,nTglimarctanx，xf+g2limarctanx，-xT-glimarccotx，0,xT+glimarccotx，-xT-glim
7、ex，0,xT-glimex，g,xT+glimxx，1.xT0+2七)连续函数的概念1.f(x)在x，x处连续，需满足三个条件:02f(x)在点x的某个领域内有定义02.3.4. f(x)当x,x时的极限存在0 limf(x)=f(x)limy=limf(x+x)一f(x)0,对任意的xa,b,恒有If(x)|M.2.最大最小值定理：设函数f(x)在a,b上连续，则在a,b上f(x)至少取得最大值与最小值各一次,即3“，”使得：f(“)=maxf(x)-,“a,b；f(”)=minf(x)-,”a,b.axbaxb3.介值定理：若函数f(x)在a,b上连续,是介于f(a)与f(b)(或最大值M与最小值m)之间的任一实数，则在a,b上至少3一个“，使得f(“)=.(a“b).4.零点定理：设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)-f(b)0,则在(a,b)内至少3一个“，使得f(“)=0(a“0,存在正整数N，使当nN时，恒有n|x-A|0,使得对Vn均有|x|0(或AN时，有x0(或x0S00|xx|S01f(x)a|0X0xXIf(x)-a|050xxx+500
