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1、例题1在数列an中，a1=1，当n2时，an，Sn，成等比数列。（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想an的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求an。1.解析：an，Sn，成等比数列，（n2）（*）（1）把a1=1，S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得： 把a1=1，代入（*）得：。 同理可得： 由此可以推出：（2）（i）当n=1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。 （ii）假设n=k（k2）时，成立。 故 或（舍去） 由得 即n=k+1时，命题也成立。 由（i）（ii）可知，整理为word格式对一切nN成立。（3）由（2）
2、得数列前n项的和，所有项和（4）对于an的通项还可以这样来求： ， ，故是以为首项，为公差的等差数列 故 ，注：对于含有an，Sn的关系式中，常将an用SnSn1（n2）代（或Sn+1Sn用an+1代），化成Sn，Sn+1（或an，an+1）的递归关系式。例1.数列an满足下列条件，求其通项公式an。(1)a1=1， (2)a1=2， (3)a1=2，an的前n项和Sn满足 解：(1) 整理为word格式 将以上各式叠加，得 又n=1时， (2) 将以上各式叠乘，得 an=n(n+1)(n2)当n=1时，1(1+1)=2 = a1 an=n(n+1)(nN*)(3) 整理为word格式2Sn-
3、1Sn=Sn-1-Sn(n2)在上式两边同除以SnSn-1，得 数列 为首项，公差为2的等差数列。 例2、在等差数列an中(1)若ap=q，aq=p(p、qN*且qp)，求ap+q；(2)an共有n项，其前四项之和为124，其最后四项之和为156，其所有项之和为210，求项数n；(3)若an前n项和记为Sn，且有 ，求Sm+n的范围解：(1)aq=ap+(q-p)d ap+q=ap+(q+p-p)d=q+q(-1)=0(2)a1+a2+a3+a4=124an+an-1+an-2+an-3=156(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)=2804(a1+an)=
4、280a1+an=70 n=6(3)设整理为word格式 前n项和 将以上两式相减得： 两边同除以m-n，得 例3、在数列an中，Sn是其前n项和，a1=1，Sn+1=4an+2(nN*)(1)设bn=an+1-2an，求证数列bn为等比数列并求其通项公式；(2)设 ，求证数列Cn是等差数列并求其通项解：(1)Sn+1=4an+2Sn+2=4an+1+2将以上两式相减，得an+2=4an+1-4anan+2-2an+1=2(an+1-2an) 又s2=4a1+2=a1 +a2 a2 =5数列bn是以b1=a2-2a1=5-2=3为首项，q=2为公比的等比数列。bn=32n-1(2)整理为wor
5、d格式 数列Cn是以 为首项， 为公差的等差数列。 例4、在等差数列an中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列 成等比数列，求数列kn的通项kn解：a2是a1与a4的等比中项 d0 a1=d 是等差数列中的第kn项，是等比数列中的第n+2项 且 =a1+(kn-1)d=d+(kn-1)d=knd 2.数列的极限应用恒等变换和极限的四项运算法则，将数列的极限转化为三个基本极限 来求解。3.数学归纳法数学归纳法有两个基本步骤：第一步，验证n=n0时，命题成立；第二步，假设n=k时，命题成立，然后利用归纳假设证明n=k+1时成立。用数学归纳法证明命题时特别要求证明的逻辑严密性。数学归纳法
6、通常用来证明有关等式，不等式，整除，几何命题等。例5.数列an满足 ，a1=2(1)求数列an的通项；(2)令整理为word格式 ，求出n(1，10000)内使b1b2b3bn为整数的n的所有值的和。解：(1)由a1=2得： 由a2=3得： 由a3=4得： 猜测：an=n+1(nN*)下用数学归纳法证明该猜测1当n=1时，a1=1+1=2，命题成立2假设n=k(kN*)时，命题成立，即有ak=k+1，则 =(k+1)+1即n=k+1时，命题也成立。综合1，2知，an=n+1(nN*)(2) 将an=n+1代入得 =log2(n+2)欲使b1b2b3bn为整数，须使n+2为2的整数幂n(1,10
7、000)n+2可是以22，23，24，213所求和为(22-2)+(23-2)+(24-2)+(213-2)=22+23+24+213-24 =214-28=16356例6.无穷数列an的前n项和为bn，无穷数列bn的前n项和Cn，对nN*，恒有bn+cn=n，(1)证明：数列1-b整理为word格式n是等比数列；(2)求 (3)比较 的大小关系解：(1)首先b1+C1=1而C1=b1，得 由已知：bn+Cn=n，有bn+1+Cn+1=n+1将两式相减，有bn+1-bn+bn+1=1 数列1-bn是以 的等比数列。(2)由(1)知： 整理为word格式 (3)n=1时， n2时， 综上， 当n
8、=1或2时，显然有 当n3时， 这时 例7.设 ，不论、为何实数，恒有f(cos)0，f(2-sin)0，正数数列an的前n项和Sn=f(an)，nN*(1)求b值；(2)求a整理为word格式n的通项公式；(3)令 ，cn的前n项和为Tn，比较Tn与 的大小。解：(1)当cos=1时，有f(1)0当sin=1时，有f(2-sin)=f(1)0f(1)=0 (2) 令n=1，有 解得a1=3或a1=-1(舍) 将以上两式相减， an为正数数列，an，an-10，an+an-10an-an-1=2(n2)an是以a1=3为首项，公差为2的等差数列an=3+(n-1)2=2n+1(3) 整理为wo
9、rd格式Tn=C1+C2+Cn 课后练习1.数列an的通项公式是an=n2-kn，若数列an是递增的，则实数k的取值范围是( )(A)k3 (B)k3 (C)k0，a5a6=16，则log4a1+log4a2+log4a10=_5.在等比数列an中，a5，a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，则 6.数列a整理为word格式n的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n2)， (1)求证： 是等差数列；(2)求an；(3)若bn=2(1-n)an(n2)，求证： 7.已知数列an的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5(nN*)(1)证明数列an+1是等比数列；(2)令
10、f(x)=a1x+a2x2+anxn，求函数f(x)在点x=1处的导数f(1)参考答案1.选Aan+1-an=(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k0(nN*)k2n+1对任意nN*成立而2n+1最小值为3，k32.选A an图象可看作是函数 个单位，再上移 个单位而得到(an图象是一些孤立点)画草图可知，a4最大3.选B 可知an的各项数值以3为周期重复出现 4.整理为word格式 5. 又a5，a7，a9符号相同，a7=16.(1)由an+2SnSn-1=0 (n2)Sn-Sn-1+2SnSn-1=0 (n2) 为首项，公差为2的等差数列。(2) (3) 整理为word格式 7.(1)Sn+1=2Sn+n+5Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n2)Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1(n2)即an+1=2an+1(n2)an+1+1=2(an+1)(n2)an+1从第2项起，是公比为2的等比数列又a1=5，由Sn+1=2Sn+n+5令n=1有S2=2S1+6a1+a2=2a1+6a2=11 an+1是以a1+1=6为首项，公比为2的等比数列
