斜抛运动疑难分析

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1、斜抛运动疑难分析斜抛运动疑难分析 河北省鸡泽县第一中学 057350吴社英1. 运动的分解 如果物体抛出时的速度v不沿水平方向， 而是斜向上 方或斜向下方的（这种情况常称为斜抛），它的受力情况与平抛完全 相同，即在水平方向仍不受力， 加速度仍是零， 在竖直方向仍只 受重力，加速度仍为g。但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同， 分别是 vx = v cos 和 vy =v sin 。因此，斜抛运动可以看成是水平方向速度为 v cos 的匀速直 线运动和竖直方向初速度为 v sin的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动。2. 物体的位置随时间变化的规律如图，物体以初速度v斜 向上抛出

2、，我们以物体离开手的位置为坐标原点， 以水平抛出的方 向为x轴的正方向， 竖直向下的方向为y轴的正方向， 建立坐标 系，并从这一瞬间开始计时。物体在水平方向不受任何外力的作用， 所以物体在水平方向做 匀速直线运动， 速度vx = v cos ,则物体位置的横坐标随时间变 化的规律为x =vxt=vt cos ； 物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知， 物体的加速度a =g,方向竖直向下。注意，与平抛运动不同的是， 小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于vy =v sin由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为= vyt 12at2 =vt sin12 gt2。3.

3、 运动轨迹从以上两式中消去t , 可得y =22）cos2（xvg +tan x 。根据数学知识我们知道，函数方程y =-ax2+bx+c代表一条开口向下的抛物线。因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论：（1）数学知识告诉我们， 对y= ax2 + bx+c,当x=ab2时, y有最大值ym=ab42+ c。所以，对上述斜抛运动轨迹方程， 当x = gvvg 2 sin）cos2 （2tan22 时， y有最大值ym =gvvg 2222sin）cos2o对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。 设斜抛运动轨迹方程中的y = 0,则有x y O v vx v

4、yx1=0, x2 =gvgv 2 sin2cQssin422 , 式中 x2 的物理意义 是斜上抛运动的水平射程（如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与 发射位置的距离）。由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在v 一定时，当=45 （ 常称作投射角） 时， 水平射程有最大值 xmi= gv22。除了上面的研究方案外， 我们还可以发现，炮弹的运动轨迹对经过最高点的竖直线是左右对称的。这启发我们：是不是可以将斜抛运动转化为平抛运动来分析处理呢？有兴趣的同学不妨一试。请思考：运动员在投掷铅球、标枪时， 应把投射角控制在什么角度为好？运动员的身高

5、对他的投掷成绩有没有影响？你能进一步推导出这种斜抛运动的轨迹方程吗？ 请试一试！ 4.受空气阻力时的运 动轨迹 我们在讨论抛体运动的位置、 轨迹以及速度等问题时， 都 没有考虑空气阻力的影响， 即讨论的是理想抛体运动。实际上，物体在空气中运动会受到阻力，且阻力与物体运动速度的大小有密切关系：物体的速度低于200m/s时，可认为阻力与物体速度大小的平 方成正比； 速度达到400600m/s时，空气阻力和速度大小的三 次方成正比；在速度很大的情况下， 阻力与速度大小的高次方成正 比。由于空气阻力的影响， 物体以较大的速度斜向上抛出后，其运动轨迹会形成不均等的弧形， 升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲

6、。斜向射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，当然路线也不再是抛物线,而是所谓弹道曲线理论计算表明， 以610m/s速度射出的炮弹， 在不计空气阻力 的空间其最大射程可达38km,炮弹将在空中划出一条高 9.5km的 巨大弧线， 而实际炮弹在空气中只能飞行 4km左右，其射程缩短 10倍之多，如图所示（虚线为不计空气阻力的理想运动轨迹，实线为同样初速的实际运动轨迹）。由于环绕地球的大气层由里向外是逐渐变稀薄的，远程大炮的发射角一般在5070范围内变化。这是因为如此发射的炮弹，可达到离地4050km的高度。在这个高度上，空气十分稀薄，阻力很小，炮弹在大气圈中飞越130160km的距

7、离。如果炮弹仍以45倾角发射飞行轨迹全在较稠密的大气中，阻力很大，就只能达到约10km的射程了。5. 速度随时间变化的规律 我们已经知道，斜抛运动可以看成 是水平方向速度为v cos 和竖直方向初速度为v sin 的竖直上抛 运动或竖直下抛运动的合运动， 以斜上抛运动为例， 从抛出开始计 时，经过时间t后，物体水平方向的速度 vxt =v cos , 竖 直方向的速度vyt = v sin gt。根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小 v = 2222yL2xt） sin（cosgLvvvv, 速度的方向可用图中的 表示，4km 9.5km 38km x y Ov vxt

8、vyt tan= cossinvgtvwxtyt o例、观察节日焰火， 经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。一般说来，焰火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质 点），各发光质点抛出速度V0大小相等，方向不同，所以各质点 有的向上做减速运动， 有的向下做加速运动， 有的做平抛运动，有 的做斜抛运动，这些发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面（礼 花 越开越大） 呢？请说明理由。提示用抛体运动的知识，求出任一发光质点经过一段时间后 的位置坐标间的关系。解析 设某一发光质点的抛出速度为 V0 ,与水平方向夹角 为，将V0沿水平方向（x轴）和竖直方向（y轴，向上为正方 向）正交分解。由抛体运动的研究可

9、知质点的位置坐标为x =v0 cos t , y=v0 sin t 12 gt2。联立以上两式， 消去 即得x2 +（y+12 gt2）2 = （v0t）2 , 这是一个以C （0, -12 gt2 ） 为圆心、 以v0t为半径的圆的方 程式。可见，只要初速度v0相同，无论初速度方向怎样， 各发光 质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降，礼 花 球一面扩大， 一面下落），如图所示。点悟 本题也可用运动合成和分解的知识解释如下：礼花炮爆炸后， 每个发光质点的抛出速度v0大小相同，方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用 下的自由落体运动（这里忽略空气阻力，如果受到空气阻力或风的影响，那么，礼花就不会形成球面形状了）。很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆， 后一个分 运动都相同， 所以观察者看到的是一个五彩缤纷的礼花 球一面扩 大、一面下落。x y