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1、高二数学圆锥曲线章节复习人教版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线章节复习二. 重点、难点：1. 重点： 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质2. 难点：直线和圆锥曲线的位置关系、最值问题、几何性质的应用三. 知识结构：【典型例题】例1 已知，试讨论当的值变化时，方程表示曲线的形状。解：（1）当时，方程为，即，表示两条平行于轴的直线。（2）当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆。（3）当时，方程为，表示圆心在原点，半径为的圆。（4）当时，方程表示焦点在轴上的椭圆。（5）当时，方程化为，表示两条平行于轴的直线。（6）当时，方程表示焦点在轴上的双曲线。例2 已知双曲线的中心在原
2、点，焦点、在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点（4，）。（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，）在此双曲线上，求；（3）求的面积。解：（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程 双曲线的一条渐近线方程为 设双曲线方程为把点（4，）代入双曲线方程得， 所求双曲线方程为（2）由（1）知双曲线方程为 双曲线的焦点为、 M点在双曲线上 ， （3） 为直角三角形 例3 已知抛物线的焦点为A，以B（）为圆心，长为半径，在轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN的中点。（1）求的值；（2）是否存在这样的值，使、成等差数列？解：如下图，A（） 圆的方程为与联立得 解得 设 则， （2）设P（），则， 若、
3、成等差数列，则 解得，这与矛盾故不存在，使成等差数列例4 已知双曲线与点P（1，2），过P点作直线与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点。（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明：不存在以Q为中点的弦。方法一：（1）解：设过P（1，2）点的直线为，代入双曲线方程得由线段AB中点为P（1，2） 解得，又时，使 从而直线AB方程为（2）证明：按同样方法求得，而使，所以直线CD不存在方法二：设A（）、B（）， ， 得： 写出直线方程，即，检验与双曲线有交点例5 已知双曲线（，）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为，双曲线的一条渐近线为，问是否存在点P，使
4、、成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。解：假设存在点P（）满足题中条件 双曲线的一条渐近线为 ， ， 即由，得 双曲线的两准线方程为 点P在双曲线的左支上 代入得 ，代入，得 存在点P使成等比数列，点P的坐标是（）例6 如图，直线和相交于点M，点N，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形，=3，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。解：方法一：以为轴，MN的中点O为原点建立如图的直角坐标系。由题意可知，曲线段C所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N是该抛物线的焦点，是准线。所以可令抛物线的方程为，过点A作，垂足分别为Q和E
5、，由于是锐角三角形，则点E必在线段MN上。所以， 抛物线方程为由上述可知，点B到准线的距离为6，则点B的横坐标为4，又曲线段在轴上方，故曲线段C的方程为方法二：以为轴，为轴建立如下图的直角坐标系，其中M点为原点，这时焦点N在轴上，顶点应是线段MN的中点。令曲线段C所在的抛物线方程为： 设则：由（1）（2）得 代入（1）得 代入（3）得 曲线段C的方程为例7 设分别为椭圆C：（）的左、右两个焦点。（1）若椭圆C上的点A（1，）到两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点。求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点
6、对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：（1）椭圆C的焦点在轴上 椭圆上的点A到两点的距离和是4，得，即又 点A（）在椭圆上 ，得 椭圆C的方程为，焦点为、（2）设椭圆C上的动点为K（），线段F1K的中点Q（）满足： 因此 即为所求的轨迹方程（3）类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P位置无关的定值。证明如下：设点M的坐标为（），则点N的坐标为（），其中。又设点P的坐标为（），
7、由，=，得将，代入得，命题得证。例8 直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理，得，依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，故解得的取值范围为（2）设A、B两点的坐标分别为，则由式得，假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（），则由FAFB得即整理得 把式及代入式化简得解得或（舍去）可得使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 椭圆的
8、一条准线为，则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 若椭圆和双曲线有相同的左、右焦点、，P是两条曲线的一个交点，则的值是（ ）A. B. C. D. 4. 双曲线的焦点为、，弦AB过且两端点在双曲线的一支上，若，则（ ）A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 不为定值5. 设P是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 6. 若点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 7. 抛物线上到顶点与焦点距离相等的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 8.
9、 将离心率为的椭圆，绕着它的左焦点按顺时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程为，则新椭圆的另一条准线方程为（ ）A. B. C. D. 二. 填空题1. 已知、是双曲线的两个焦点，PQ是经过且垂直于轴的双曲线的弦，如果，则双曲线的离心率是 。2. 已知点是椭圆上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是 。3. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，这个正三角形的边长是 。4. 抛物线的弦AB垂直于轴，若，则焦点到AB的距离为 。三. 解答题1. 已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。2. 设AB是抛物线上的动弦，且
10、（为常数），求弦AB中点M到轴的最近距离，并研究的情况。3. 求抛物线上的点到直线的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标。【试题答案】一.1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D 7. C 8. D二. 1. 2. 3. 4. 三. 1. 解： 椭圆的中心在原点，焦点在轴上 椭圆的方程为标准方程 椭圆的方程可写成把直线代入椭圆的方程并整理得 弦的中点的横坐标为 ， 所求椭圆的方程为2. （1）解法一：设直线AB的方程为，A、B两点的坐标分别为， 由 得 ，化简得点M到轴的距离为当且仅当，即时“=”成立解法二：设A、M、B点的纵坐标分别为、，A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为、由抛物线的定义，知， ， 又M是线段AB的中点 ，等号在AB过焦点F时成立 当定长为的弦过焦点F时，M点与轴的距离最近，最近距离为（2）若，此时只能用解法一，得令，得又在上是减函数，在上是增函数又，故在上是增函数，故当即时，3. 解法一：设是抛物线上的点，则 当，时，有最小值2此时抛物线上点的坐标为解法二：由无实根，知直线与抛物线没有公共点设与直线平行的直线为代入得设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点 ，解得，代入，得，即点到直线的距离最近，最近距离
