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1、-中考数学共顶点旋转模型一、题源分析人教版八年级上册第55页如图， ,求证人教版九年级上册第63页如图，都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？二、共顶点旋转模型简要概述共顶点模型，是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。例如上题中的三角形ADC和三角形ABE。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：1寻找公共的顶点2列出两组相等的边或者对应成比例的边3将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。典例分析1：2014年*1问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接B
2、E填空：1AEB的度数为； 2线段AD、BE之间的数量关系是。2拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰三角形，ACB=DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE。请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。思路点拨：1第一问，考虑到两个等边三角形有一个公共顶点C，在点C处可以找到两组相等的边，列出来即可表示为：，观察边的形式，就可以得到全等的两个三角形是：.2类比第一问，可以得到，故而全等的三角形为，之后再做计算即可。典例分析2：2015年*如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD
3、的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且AGDBGC1求证：ADBC；2求证：AGDEGF；3如图2，假设AD、BC所在直线互相垂直，求的值思路点拨：1第一问，结合共顶点旋转全等模型即可2类比第一问，全等模型的延伸，相似模型。根据，类比全等证明相似。3结合前两问的相似即可得到即为相似比，亦即求解的值即可。典例分析3：2011年*中考如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上1证明：B、C、E三点共线；2假设M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：。思路点拨：1第一问，共顶点旋转模型2根据第一问的全等证明即可构造旋
4、转模型求解。三、共顶点旋转模型的应用1半角模型：所谓半角模型，是指在从角的顶点向角内部引出两条直线，这两条直线形成的夹角恰好等于原角的一半大小。典例分析1：2014年*如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，EAF=45，ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为思路点拨：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90即可。典例分析2：2016南岗区模拟ABC是等边三角形，点D在ABC外，连接BD、CD，且BDC=120，BD=DC，点M，N分别在边AB，AC上，连接DM、DN、MN，MDN=60，探究：AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系1如图1，当DM=DN时，=；2如图2，当D
5、MDN时，猜测=；并加以证明思路点拨：典型的半角模型，将三角形D绕点D逆时针旋转120即可。总结：1半角模型的根本形式：大角包小角，小角得一半2半角模型的解题方法：将被两条直线分开的两个角中任意一个旋转全角大小即可。延伸例题：2016春黄岛区期中问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论【类比引申】如图2，四边形ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，点E、F分别在边BC、CD上，则当EAF与BAD满足关系时，仍
6、有EF=BE+FD【探究应用】如图3，在*公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCDAB=AD=80米，B=60，ADC=120，BAD=150，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AEAD，DF=4040米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为米2K字模型：所谓K字模型，与半角模型类似，实则是指构成的图形类似于K字。题源：人教版课本新课标八年级下册第30页，勾股定理的证明。典例分析1：2014年*如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为1，则点C的坐标为A，1B1，C，1D，1思路点拨：过点C作*轴的垂线即可。典例分析2：2015*省*市1问题：如
7、图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPC=A=B=90.求证：ADBC=APBP.2探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明理由.3应用请利用12获得的经历解决问题：如图3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足DPC=A.设点P的运动时间为t秒，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.总结：K字形模型解题根本思路是：利用角的和相等的原理，证明K的两边的三角形相似或全等。在不相似或者全等时，构造三角形使两个三角形全等相似。例如：2016*模拟1【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图1，ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足ADE=60，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系小明发现，过点D作DFAC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：；2【类比探究】如图2，当点D是线段BC上除B，C外任意一点时其它条件不变，试猜测AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论3【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC其它条件不变时，请直接写出ABC与ADE的面积之比. z.
