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1、初二数学奥数 1、如图,梯形ABCD中,ADBC,DEEC,EFAB交BC于点F,EFEC,连结DF。(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;(2)若AD1,BC3,DC,试判断DCF的形状;(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由。2、在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿ABC向终点C运动,连接DM交AC于点N.(1)如图251,当点M在AB边上时,连接BN.求证:ABNADN;若ABC = 60,AM = 4,求点M到AD的距离;(2)如图252,若ABC = 90,记点M运动所经过的路程为x(6x12)
2、试问:x为何值时,ADN为等腰三角形.3、对于点O、M,点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N,使OMON,且OMON,这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”正方形ABCD和点P,P点关于A左转弯运动到P1,P1关于B左转弯运动到P2,P2关于C左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4,P4关于A左转弯运动到P5,(1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置;(2)连接P1A、P1B,判断 ABP1与ADP之间有怎样的关系?并说明理由。图1图2(3)以D为原点、直线AD为轴建立直角坐标系,并且已知点B在第二象限,A、P两点的坐标为(0,4)、(1,1),请你推断:P4、P
3、2009、P2010三点的坐标4、如图1和2,在2020的等距网格(每格的宽和高均是1个单位长)中,RtABC从点A与点M重合的位置开始,以每秒1个单位长的速度先向下平移,当BC边与网的底部重合时,继续同样的速度向右平移,当点C与点P重合时,RtABC停止移动.设运动时间为x秒,QAC的面积为y.(1)如图1,当RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时,请你在网格中画出RtA1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;(2)如图2,在RtABC向下平移的过程中,请你求出y与x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少?(3)在RtABC向右平移的过程中,
4、请你说明当x取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最值分别是多少?为什么?5、如图,ABC中,AB=AC,B、C的平分线交于O点,过O点作EFBC交AB、AC于E、F(1)图中有几个等腰三角形?猜想: EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由(2)如图,若ABAC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?如果有,分别指出它们在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图,若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OEBC交AB于E,交AC于F这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。6、已知,如图,ABC中,BAC=90,AB=AC,
5、D为AC上一点,且BDC=124,延长BA到点E,使AE=AD,BD的延长线交CE于点F,求E的度数。7、 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将一三角尺的直角顶点放在点O处,让其绕点O旋转,三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度,你发现了什么?试说明理由。1、解:(1)证明:EF=EC,EFC=ECF, EFAB, B=EFC,B=ECF,梯形ABCD是等腰梯形;(2)DCF是等腰直角三角形, 证明:DE=EC,EF=EC,EF= CD,CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),梯形AB
6、CD是等腰梯形, CF= (BC-AD)=1, DC= , 由勾股定理得:DF=1,DCF是等腰直角三角形;(3)共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3-,PB=3+2、证明:(1)四边形ABCD是菱形, AB=AD,1=2 又AN=AN, ABNADN解:作MHDA交DA的延长线于点H 由ADBC,得MAH=ABC=60在RtAMH中,MH=AMsin60=4sin60=2 点M到AD的距离为2 AH=2 DH=6+2=8(2)解:ABC=90, 菱形ABCD是正方形 CAD=45下面分三种情形: ()若ND=NA,则ADN=NAD=45此时,点M恰好与点B重合,得x=6;()若DN=DA
7、,则DNA=DAN=45 此时,点M恰好与点C重合,得x=12;()若AN=AD=6,则1=2 ADBC, 1=4,又2=3,3=4 CM=CN AC=6 2 CM=CN=AC-AN=6 2-6故x=12-CM=12-(6 2-6)=18-6 2综上所述:当x=6或12或18-6 2时,ADN是等腰三角形。3、解:(1)用直尺和圆规作图,作图痕迹清晰;(2)ABP1ADP,且ABP1可看成是由ADP绕点A顺时针旋转90而得理由如下:在ABP1和ADP中,由题意:AB=AD,AP=AP1,PAD=P1AB,ABP1ADP,又ABP1和ADP有公共顶点A,且PAP1=90,ABP1可看成是由ADP
8、绕点A顺时针旋转90而得;(3)点P(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到P1(-3,3),点P1(-3,3)关于点B(-4,4)左转弯运动到点P2(-5,3),点P2(-5,3)关于点C(-4,0)左转弯运动到点P3(-1,1),点P3(-1,1)关于点D(0,0)左转弯运动到点P4(1,1),点P4(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到点P5(-3,3),点P5与点P1重合,点P6与点P2重合,点P2009的坐标为(-3,3)点P2010的坐标为(-5,3)4、解:(1)如图1,A2B2C2是A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;(2)当ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时(如
9、图2),则有:MA=x,MB=x+4,MQ=20,y=S梯形QMBC-SAMQ-SABC=4+20)(x+4)- 20x- 44=2x+40(0x16)由一次函数的性质可知:当x=0时,y取得最小值,且y最小=40,当x=16时,y取得最大值,且y最大=216+40=72;(3)解法一:当ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,此时16x32,PB=20-(x-16)=36-x,PC=PB-4=32-x,y=S梯形BAQP-SCPQ-SABC= (4+20)(36-x)-20(32-x)- 44=-2x+104(16x32)由一次函数的性质可知:当x=32时,y取得最小值,且y最小=-23
10、2+104=40;当x=16时,y取得最大值,且y最大=-216+104=72解法二:在ABC自左向右平移的过程中,QAC在每一时刻的位置都对应着(2)中QAC某一时刻的位置,使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称因此,根据轴对称的性质,只需考查ABC在自上至下平移过程中QAC面积的变化情况,便可以知道ABC在自左向右平移过程中QAC面积的变化情况当x=16时,y取得最大值,且y最大=72,当x=32时,y取得最小值,且y最小=405、解:(1)图中有5个等腰三角形,EF=BE+CF,BEOCFO,且这两个三角形均为等腰三角形,可得EF=EO+FO=BE+CF;(2)还有两个等腰三角形,为B
11、EO、CFO,如下图所示:EFBC,2=3,又1=2,1=3,BEO为等腰三角形,在CFO中,同理可证EF=BE+CF存在(3)有等腰三角形:BEO、CFO,此时EF=BE-CF,如下图所示:OEBC,5=6,又4=5,4=6,BEO是等腰三角形,在CFO中,同理可证CFO是等腰三角形,此时EF=BE-CF,6、解:在ABD和ACE中,AB=AC,DAB=CAE=90AD=AE,ABDACE(SAS),E=ADBADB=180-BDC=180-124=56,E=567、解:OE=OF证明:正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,OA=OB,OAB=OBE=45,ACBDAOF+FOB=EOB+FOB=90,AOF=EOB在AOF和BOE中OAB=OBE,OA=OB,AOF=EOB,AOFBOE(ASA)OE=OF