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1、2017 届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？ 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：y模型一：“手电筒”模型x22例题、（07 ft东）
2、已知椭圆 C：+43= 1若直线l：y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。y = kx + m222解：设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，由3x2 + 4 y2= 12得(3 + 4k )x+ 8mkx + 4(m- 3) = 0 ，D = 64m2k 2 -16(3 + 4k 2 )(m2 - 3) 0 ， 3 + 4k 2 - m2 0x + x = - 8mk , x x =123 + 4k 2124(m2 - 3)3 + 4k 2223(m
3、2 - 4k 2 )y1 y2 = (kx1 + m) (kx2 + m) = k x1 x2 + mk (x1 + x2 ) + m =3 + 4k 2Q以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), 且 kAD kBD = -1 ，y1y2= -1， y y + x x - 2(x + x ) + 4 = 0 ，x - 2 x - 21 21 212123(m2 - 4k 2 ) + 4(m2 - 3) +16mk +=3 + 4k 23 + 4k 23 + 4k 240 ，整理得： 7m2 +16mk + 4k 2 = 0 ，解得： m = -2k, m = - 2k ，且满足3
4、+ 4k 2 - m2 0127当 m = -2k 时， l : y = k (x - 2) ，直线过定点(2, 0), 与已知矛盾；当 m = - 2k7时， l : y = k (x -2) ，直线过定点 2( , 0)772综上可知，直线l 过定点，定点坐标为( , 0).7 方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直x (a2 - b2 ) y (a2 - b2 )线交圆锥曲线于 AB，则 AB 必过定点( 0, 0) 。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）a2 + b2a2 + b2 模型拓展：本题还可以拓展为“
5、手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件（如 kAP kBP =定值， kAP + kBP = 定值），直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第 13 节）此模型解题步骤：Step1：设 AB 直线 y = kx + m ，联立曲线方程得根与系数关系， D 求出参数范围；Step2：由 AP 与 BP 关系（如 kAP kBP = -1 ），得一次函数 k =f (m)或者m =f (k ) ；Step3：将 k = 迁移训练f (m)或者m =f (k ) 代入 y = kx + m ，得 y = k (x - x
6、定) + y定 。练习 1：过抛物线 M: y2 = 2 px 上一点 P（1,2）作倾斜角互补的直线 PA 与 PB，交 M 于 A、B 两点，求证：直线 AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习 2：过抛物线 M: y 2 = 4x 的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA、OB，求证：直线 AB 过定点。（经典例题，多种解法）ABAC练习 3：过2x2 - y2 = 1上的点作动弦 AB、AC 且 k k= 3 ，证明 BC 恒过定点。（本题参考答案：(1 ,-51) ）5练习:4：设 A、B 是轨迹C ： y2 = 2 px(P 0) 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和
7、OB 的倾斜角p分别为a和b，当a,b变化且a+ b=(-2 p, 2 p) ）时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案4p【答案】设 A( x1, y1 ), B ( x2, y2 ) ，由题意得 x1, x2 0 ，又直线 OA,OB 的倾斜角a,b满足a+ b=，4p故 0 a,b 0) 联立消去 x ，得 ky2 - 2 py + 2 pb = 0由韦达定理知 y1 + y2 =k , y1 y2 =2 pbk2 ppp由a+ b=，得 1 tan= tan(a+ b) =tana+ tan b = 2 p( y1 + y2 ) 441- tanatan b2 py
8、1 y2- 4 p2将式代入上式整理化简可得：b - 2 pk= 1 ，所以b = 2 p + 2 pk ，此时，直线 AB 的方程可表示为 y = kx + 2 p + 2 pk 即 k (x + 2 p) - ( y - 2 p) = 0所以直线 AB 恒过定点(-2 p, 2 p) .练习 5：（2013 年高考陕西卷（理）已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.()求动圆圆心的轨迹 C 的方程;()已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是PBQ 的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】
9、解:() A(4,0),设圆心 C(x, y), MN线段的中点为E，由几何图像知ME = MN , CA2 = CM 2 = ME 2 + EC 22（x - 4)2 + y 2 = 42 + x2 y 2 = 8x()点 B(-1,0),设P(x , y ), Q(x , y),由题知y + y 0，y y （0 *）11221212 AD AE = (x1 -1)(x2 -1) + ( y1 - 2)( y2 - 2) = x1 x2 - (x1 + x2 ) +1+ y1 y2 - 2( y1 + y2 ) + 4y2y2y2y2= 1 2 - ( 1 + 2 ) + y1 y2 -
10、2( y1 + y2 ) + 54444( y y )2( y + y )2 - 2 y y= 12- 1212 + y1 y2 - 2( y1 + y2 ) + 5164= (-4t)2 - (4m)2 - 2(-4t) +(-4t) -2(4m) + 5 =0化简得t 2 - 6t+ 5 =4m2 + 8m164即t 2 - 6t + 9 = 4m2 + 8m + 4即（t - 3）2 = 4(m +1)2 t - 3 = 2(m +1)t = 2m + 5或t = -2m +1, 代入（*）式检验均满足D 0直线DE的方程为x = m( y + 2) + 5或x = m( y - 2)
11、+1直线DE过定点(5,-2).（定点（1，2）不满足题意）练习 7：已知点 A（1，0），B（1，1）和抛物线. C : y 2 = 4x ，O 为坐标原点，过点 A 的动直线 l交抛物线 C 于 M、P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q，如图.uuuur uuur（I） 证明: OM OP 为定值;5（II） 若POM 的面积为 ，求向量OM 与OP 的夹角；2（）证明直线 PQ 恒过一个定点.y 2y 2线，1解：（I）设点 M ( 1 , y ), P( 2 , y ),Q P 、M、A 三点共 k= k,即 4y1= y1 4- y2 2 ,AMDMy 2y 2y 2 1 + 11 - 2 即 y1=4441 21, y y
