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1、第十章计数原理与概率第一节分类加法计数原理和分步乘法计数原理厂考 纲 考 情年5号高考指数；、1. 理無分类加法计数原理和分歩乘法计数原理2. 会用力类加法订数原理和分歩乘法汁数原理分 析和解决一些简单的实跡问题1.重点考査两个计数原理的应用常利用分类讨论 思想进行讨论求側沢以选择题=填空题的形式泪现，丿禺中低档题知识回顾两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事，可以有.在第一类办法中有 ml种方法，在第二类办法 中有m2种方法，在第n 类办法中有mn种方法完成一件事需要经过，缺一不可，做第一 步有ml种方法，做第二步 有m2种方法，做第n步有 mn种方法结论完成这件事共有N
2、=种方法完成这件事共有N=种方法依据能否完成整个事件能否完成整个事件思考辨析：判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X” ).(1) 在分类加法计数原理中，每类不同办法中的方法可以相同.()(2) 在分类加法计数原理中，每类办法中的方法都能直接完成这件事.()(3) 如果完成一件事情有n类不同办法，在每一类中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有m1+m2+m3+mn种方法.()(4) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(5) 在分步乘法计数原理中，事情如果是分两步完成的，则其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有 两个步骤
3、都完成后，这件事情才算完成()(6) 如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有 m1m2m3mn 种方法.()【解析】(1)错误在分类加法计数原理中，每类不同办法中的方法互不相同，即第一类办法中的ml种方法和 第二类办法中的m2种方法没有相同的.(2) 正确在分类加法计数原理中，每类办法中的每一种方法都能完成这件事.(3) 正确这是分类加法计数原理的推广.(4) 正确在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法如果相同，则可认为是相同的步骤(5) 正确.在分步乘法计数原理中，如果事情是分两步完成的，则它的任何一个单独的步
4、骤都不能完成这件事(6) 正确这是分步乘法计数原理的推广.答案：XJJVJ考点练习：1.从10名任课教师，50名同学中，选1人参加元旦文艺演出，共有选法种数为()(A)50(B)10(C)60(D)500【解析】选C.分类完成此事，一类是选教师，有10种选法，另一类是选学生，有50种选法，由分类加法计 数原理可知，共有10+50=60种选法.2某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是()(A)9x8x7x6x5x4x3(B)8x96(C)9x106(D)81x105【解析】选D.电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9X105部，同理升为七位时，可安装电
5、话9X106 部，所以可增加的电话部数是9 X 106-9 X 105=81 X 1053从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有种.【解析】分类完成此事，如果选女生，有3种选法；如果选男生，有2种选法由分类加法计数原理可知，共 有3+2=5种选法.答案：54. 将4封信投入3个邮箱，有种不同的投法，将3封信投入4个邮箱，有种不同的投法.【解析】分四步：每一封信都有3种不同的投法，由分步乘法计数原理，共有3X3X3X3 = 81(种)；分三步: 每一封信都有4种不同的投法，由分步乘法计数原理，共有43=64(种).答案：81645. 已知集合M=1, -2,3,
6、N=4,5,6,7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标(一个为横坐标，一个为纵坐标)，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数 .【解析】令M中的元素作为点的横坐标，N中的元素作为点的纵坐标，在第一象限的点共有2X2个，在第 二象限的点共有1X2个.令N中的元素作为点的横坐标，M中的元素作为点的纵坐标，在第一象限的点共 有2X2个，在第二象限的点共有2X2个.故所求不同的点的个数是2X2+1X2+2X2+2X2=14.答案：14考向1分类加法计数原理【典例1】(1)若 x，yWN*,且x+yW6，则有序自然数对(x,y)共有个.(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字
7、的两位数的个数为.【思路点拨】(1)根据题意，用列举法分别求得当x=1,2,3,4,5时，y值的数目情况，进而由分类加法计数原理, 计算可得答案.(2)对十位数字进行分类或对个位数字进行分类.【规范解答】(1)当 x=1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个；当x=2时，y可取的值为4，3，2，1，共4个；当x=3时，y可取的值为3，2，1，共3个；当x=4时，y可取的值为2，1，共2个；当x=5时，y可取的值为1,共1个；即当x=1,2,3,4,5时，y值依次有5, 4，3，2，1个，由分类加法计数原理，得不同的数对(x,y)共有5+4+3+2+1=15(个).答案：15(2)方法一：根
8、据题意，将十位上的数字按1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8的情况分成8类，在每一类中满足题目 条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合条件的两 位数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个.方法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9,则十位可以是1, 2, 3,，8中的一个，故共有8个；个位是8,则十位可以是1, 2, 3,，7中的一个，故共有7个；同理个位是7的有6个；个位是2的有1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个.答案：36【互动探究】本
9、例题(2)中条件不变，求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数【解析】当个位数字是8时，十位数字取9,只有1个.当个位数字是6时，十位数字可取7, 8, 9,共3个.当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9,共5个.同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个.由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(个).【拓展提升】1分类加法计数原理的特点(1) 根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准.(2) 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类.2使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，
10、不重不漏”的原则【变式备选】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本, 则不同的赠送方法共有（）（A）4 种 （B）10 种 （C）18 种 （D）20 种【解析】选B.依题意，就所剩余的一本进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有=6（种）.因此，满足题意的赠送方法共有4+6= 10（种）.考向2分步乘法计数原理【典例2】（1）（2013 南昌模拟）如图，在A,B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，如今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（
11、）B124A* B(A)10 种(B)12 种(C)13 种(D)15 种3/（2）用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求共 有多少种不同的涂色方法？【思路点拨】（1）根据题意，用排除法，首先由分步计数原理计算可得A，B间的4个焊接点脱落与否的情况 总数目，进而由电路知识分析当A，B之间线路通畅时的情况数目；由总数目减去通畅的情况数目即可得答 案.（2）逐步给A,B,C,D四个区域涂色即可.【规范解答】（1）选C.根据题意，在A，B间有四个焊接点，每个焊接点脱落与否有2种情况，则A，B间的4个焊接点，共有2X2X2X2=16种情况，其中
12、A，B之间线路通畅时，有1，2, 3, 4全部没有脱落，只有2脱落，只有3脱落，共3种情况，则A，B之间线路不通的焊接点脱落的不同情况有16-3=13种情况，故选C.（2）分4步：涂A有5种方法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法（D与A可以同色）.由分步乘法计数原理得，共有5X4X3X3=180（种）.【拓展提升】使用分步乘法计数原理的关注点（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.（2）将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当全部步骤完成了，整个事件才 算完成，这是分步的基础，也是关键从计数上来看，各步的方法
13、数的积就是完成事件的方法总数【提醒】解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰、互不影响，还要注意元素是否可以 重复选取.【变式训练】用1, 2, 3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现, 这样的四位数有（）（A）6 个 （B）9 个 （C）18 个 （D）36 个【解析】选C.由题意知，1, 2, 3中必有某一个数字重复使用2次第一步确定谁被使用2次，有3种方法； 第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位 数余下的2个位置上，有2种方法，故共可组成3X3X2=18个不同的四位数.考向3两个计
14、数原理的综合应用【典例3】（1）（2013 合肥模拟）如果一个三位正整数如“ala2a3”满足alva2a3,则称这样的三位数为凸数（如120,343,275等），那么所有凸数的个数为（）(A)240(B)204(C)729(D)920用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有种不同的涂色方法.【思路点拨】（1）由于中间数最大，可先按中间数进行分类，再按两边的数分步进行解答.（2）本题是解决涂色问 题，要明确涂色要求，严格区分是“分类”还是“分步”【规范解答】选A.分8类，当中间数为2时，有1X2=2（个）；当中间数为3时，有2
15、X3 = 6（个）；当中间数为4时，有3X4=12（个）；当中间数为5时，有4X5 = 20（个）；当中间数为6时，有5X6 = 30（个）；当中间数为7时，有6X7=42（个）；当中间数为8时，有7X8 = 56（个）；当中间数为9时，有8X9 = 72（个）.故共有 2+6+12+20+30+42+56+72（2）完成该件事可分步进行.涂区域1,有5种颜色可选.涂区域2,有4种颜色可选.涂区域3,可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选若区域3的颜色与2不同，则区 域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有5X4X（1X4+3X3）=260（种）涂色方法.答案：260【拓展提升】1两个计数原理的区别原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完
