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1、最新资料推荐# / 4矩阵知识点归纳(一)二阶矩阵与变换1.线性变换与二阶矩阵xf =ax+by,在平而直角坐标系xOy中，由，./(其中，k g 是常数)构成的变换称y =cx+dy.为线性变换.由四个数，b, C, 排成的正方形数表：称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A, B, C,在的行和列).2.矩阵的乘法M称为二阶矩阵其中宀八c, d 或伽)表示(其中i，j分别为元素所行矩阵冋2与列矩阵的乘法规则为=创如+如2妇，二阶矩阵Ibu与列矩阵的乘法规则为3.几种常见的线性变换IO-_0L(1)恒等变换矩阵M=ax+hyq+心.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律.cos。 sindsi
2、n&os& J(3)反射变换要看关于哪条直线对称.例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为Mt =-100L(2)旋转变换心对应的矩阵是M=io -.0 -L:若关于y轴对称，则变换对应矩阵为“2=:若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3=-100-L(4)伸压变换对应的二阶矩阵表示将每个点的横坐标变为原来的灯倍，纵坐 标变为原来的b倍，灯,层均为非零常数：(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M=(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移I幼I个单位，则对应矩阵M=_10_乂1_沿y轴平移1也1个单位，则对应矩阵4.线性变换的基本性质设向量规泄实数2与向虽a的乘积
3、加=：:设向量(其中*为非零常数).T;:规建IO-_ooJ:.01.Xi+疋.Vl + V2-(1) 设M是一个二阶薙阵2丿是平而上的任意两个向量,2是一个任意实数，则(加) =7Ms M(a+Q=Ma+M?(2) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平而上的直线变成直线(或一点).(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1.矩阵的逆矩阵(1) -般地，设P是一个线性变换，如果存在线性变换6使得up=po=I.则称变换p 可逆.并且称7是P的逆变换.(2) 设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B,使得脳=AB=E.则称矩阵A可逆， 或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵.向量a与的和+/?=,最
4、新资料推荐(3) (性质1)设A是一个二阶矩阵，如果人是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的.A的逆矩 阵记为厂(4) (性质2)设A, B是二阶矩阵，如果A, B都可逆，则的也可逆,且(肋尸=矿(5) 已知A, B, C为二阶矩阵，且AB=AC,若矩阵A存在逆矩阵，则B=C.(6)对于二阶可逆矩阵A =culbcQ).它的逆矩阵为A 1 =ad head be-b ad beuadbc_2.二阶行列式与方程组的解ax+bv=ni, 对于关于x, v的二元一次方程组.；cx+dy=n9我们把山称为二阶行列式，它的运ab算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)= 厂心味若将方程组中行列式记为D,m
5、bndam记为则当DH0时，方程组的解为av万# / 43.二阶矩阵的特征值和特征向量(1) 特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数儿存在一个非零向量弘 使得Aa=ia.那么2 称为A的一个特征值，么称为A的一个属于特征值久的一个特征向量.(2) 特征多项式则ALyJ设人是二阶矩阵*的-个特征值，它的-个特征向助赵;fax-rby=)jCf也即(2t/)xZ?y=O ex+(2d)y=0.Xa b定义：设人=7是一个二阶矩阵，疋R，我们把行列式/U)=,=以一(“+LM5(1d)A+ad-bc称为A的特征多项式.(3) 矩阵的特征值与特征向量的求法如果2是二阶矩阵A的特征值，则
6、人一泄是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即/U) =0,此时，将久代入二元一次方程组(*),就可得到一组非零解,于是非零向虽：即为 A的属于2的一个特征向量所有变换矩阵单位矩阵：M = 0点的变换为(x,y)T(x,y)4 0-伸压变换矩阵：M=: k,将原来图形横坐标扩大为原来k倍，纵坐标不变0 1_0,将原来图形纵坐标扩大为原来k倍，横坐标不变.0 k.OvEvl,将原来图形纵坐标缩小为原来k倍，横坐标不变点的变换为(儿刃(工幼)反射变换：M:点的变换为(x,y)-(x,-y)-1 0M = 0:点的变换为-1 oM =:点的变换为(x,y)T(-x,-y)变换前后关于x轴对称变换前后关于
7、y轴对称变换前后关于原点对称点的变换为(x, y) (” x)变换前后关于直线y=工对称旋转变换：M =COS&一 sin&sin 8COS&0 :顺时针心0 1旋转变化矩阵还可以设为：M = h a.投影变换：0-M=:将坐标平而上的点垂直投影到x轴上0 0点的变换为(x, y) T (上0)M =补;：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上 点的变换为(x, y) T (0, y)M=；补：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y = x点的变换为(x, y) t (x, x)M =补;：将坐标平而上的点平行于x轴方向投影到y = x上点的变换为(x, y) t (y)1-2 1-21-2 1-2一M:将坐标平面上的点垂直于y = x方向投影到y = x上点的变换为(X)T ( )2 2k切变变换:M=:把平而上的点沿x轴方向平移I灯I个单位0 1点的变换为(x,刃- (x + kyt y)1 0-M=:把平而上的点沿y轴方向平移I也I个单位k 1_点的变换为(X, V)T(X,尬+ V)
