《专题20空间向量与立体几何（解答题）（11月）（理）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题20空间向量与立体几何（解答题）（11月）（理）（解析版）（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间向量与立体几何1如图，三棱柱中，底面，是的中点，（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【试题来源】北京市昌平区2020届高三（6月份）数学适应性试题【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连结，交于，则是的中点，连结，是的中点，平面，平面，平面（2）三棱柱中，底面，是的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，2，1，0，0，0，1，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为2如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点（1）确定E的位置，使平面；（2）设，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值【试题来源】
2、云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测（理）【答案】（1）E为的中点；（2）【分析】（1）E为的中点，连接，使交于点O，可证，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）分别以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解【解析】（1）E为的中点，连接，使交于点O，取的中点为E，连接，因为O，E分别为，的中点，所以又平面，平面，所以平面（2）分别以，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以，所以平面的法向量为设平面的法向量为，由，令，则，所以，所以二面角的平面角的余弦值为3如图，三棱柱中，侧面，已知，点是棱的中点（1）求证：平面；（2）
3、求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【试题来源】天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或【解析】（1）由题意，因为，所以，又所以，所以，因为侧面，所以又因为，平面，所以直线平面（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，因为，所以，令，则，所以设平面的一个法向量为，因为，所以，令，则，所以，所以设二面角为，则所以设二面角的余弦值为（3）假设存在点，设，因为，所以，所以所以设平面的一个法向量为，所以，得即，所以或，所
4、以或4如图四棱锥，底面是等腰梯形，平分且，平面，平面与平面所成角为60（1）求证：（2）求二面角的余弦值【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第一次诊断考试（10月）【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为平面，所以又因为，所以平面，平面，所以（2）证明：等腰梯形中，设因为且平分，则，所以，则中以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，平面法向量，设平面法向量为，有，即，令，所以，所以，平面法向量，平面法向量，即，令，所以，所以二面角的余弦值为5如图，在正方体中，分别是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你
5、的结论【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析【解析】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为，则，（1）设异面直线与所成角为，即异面直线与所成角的余弦值为；（2）假设在棱上存在点，使得平面则，设平面的法向量，令，则，解得 ，棱上存在点，满足，使得平面【名师点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量6如图，在三棱锥中，为
6、等边三角形，的中点O在为三角形的外接圆的圆心，点N在边上，且（1）求与平面所成的角；（2）求二面角的正弦值【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考【答案】（1）；（2）【解析】（1）证明 连接，在中，由的中点O在为三角形的外接圆的圆心，可知三角形为等腰直角三角形，所以，O为的中点，则，且在中，O为的中点，则，且在中，满足，所以，又，平面，故平面，所以与平面所成的角为（2） 因为，两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，由，所以，则，设平面的法向量为，则令，得，因为平面，所以为平面的法向量，所以所以二面角的正弦值为7如图，在四棱锥中，平面平面，是边长
7、为2的等边三角形，底面是菱形，且，设平面与平面的交线为（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（10月）【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为底面是菱形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以（2）取的中点，连结，因为四边形是菱形，所以是等边三角形，所以，同理，得，因为平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，所以，两两垂直，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，则，所以，设平面的一个法向量，由，取，得，是平面的一个法向量，所以，所以，所以平面与平面所成锐二
8、面角的大小为8如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别是的中点（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：以为 原点，以所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，所以，所以（2），设平面的法向量为，则，令，则设与平面所成角为，所以与平面所成角的正弦值为9如图，四棱锥中，面面，（1）证明：；（2）求与面所成角的正弦值【试题来源】浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图所示，设与交点为0，因为，所以四边形为等
9、腰梯形，所以易得，又因为，所以，同理可得，所以，因为，所以又因为面面，且面面，面所以面，又因为面，所以（2）建立如图所示空间直角坐标系，以0为原点，以为轴，为轴，过点作面的垂线为轴则，因为面，面，所以，又因为，所以所以，设平面的一个法向量则，即所以，不妨设，则，设与面所成角为，10在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，、分别为、的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值 【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在等腰直角三角形中，所以因为平面平面，平面平面，平面，所以平面因为平面，所以；（2）在平面内
10、过点作垂直于，由（1）知，平面，因为平面，所以如图，以为原点，为，轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则，即令则，所以直线与平面所成角大小为，所以直线与平面所成角的正弦值为11如图四边形PABC中，现把沿折起，使与平面成60，设此时在平面上的投影为点(与在的同侧)，（1）求证：平面；（2）求二面角大小的正切值【试题来源】辽宁省联合校2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连，因为平面，得又因为，得平面，因为是与平面的角，因为，得在中，故有，从而有，得平面（2）以为轴，建立坐标系，可得，可求得平面的法向量是， ，设平面的法向量，则，当时，平面
11、的法向量 ，所以二面角大小的余弦值是， ，即12如图，在平行六面体中，（1）求的长；（2）求证：直线平面【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设，则因为，所以，所以，所以（2）由（1）知：，所以，即，又，所以平面13如图（1）所示，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）所示（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不
12、存在，答案见解析【解析】（1），是平面内的两条相交直线，平面，又平面，又，是平面内的两条相交直线，平面（2）如图建系，则，所以，设平面的一个法向量为则 所以 所以所以取，得，又因为，所以，与平面所成角所以，所以与平面所成角的大小（3）设点的坐标为，设平面的法向量为，则，令，则要使平面与平面垂直，需，解得，不满足条件所以不存在这样的点14如图，在直三棱柱中，是棱的中点，且（1）求证： 平面； （2）求直线到平面的距离【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：以为原点，以，所在的直线分别为，轴，如图建立空间直角坐标系，设
13、平面的法向量为，则，令，则，所以，因为平面，所以平面（2）因为平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，设直线到平面的距离为，则，所以直线到平面的距离为15已知空间三点（1）若点在直线上，且，求点的坐标；（2）求以为邻边的平行四边形的面积【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考【答案】（1）；（2）【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解【解析】（1），点在直线上，设，（2），所以以为邻边得平行四边形的面积为16如图所示，在多面体中，四边形为正方形，平面平面（1）若，证明：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期10月月考【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在中：，故，故平面平面，故平面，平面，故，故平面，平面，故平面平面（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量为，则，取得到；设平面的法向量为，
