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1、解析几何中设而不求专项练习设而不求是解析几何的重要解题方略,在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同窗会问：什么状况下,可以通过设而不求解答问题呢？ 一、运用曲线与方程的关系:1. 已知两圆,求两圆的公共弦方程及弦长。 2. 过圆外一点P(,b)引圆的两条切线，求通过两个切点的直线方程。二、运用圆锥曲线的定义:1已知椭圆为焦点,点为椭圆上一点，求。三、运用点差法:. 求过椭圆内一点A（1,1)的弦P的中点M的轨迹方程。四、运用韦达定理：1.已知椭圆C的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （)求双曲线C的方程;(）若直线与椭
2、圆1及双曲线C都恒有两个不同的交点，且l与C的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范畴2. 已知平面上一定点（4,0)和一定直线为该平面上一动点,作,垂足为Q，且. (1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程; （)设直线与（1)中的曲线交于不同的两点A、B，与否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆通过点D(0，2)?若存在，求出的值,若不存在,阐明理由五、对多元问题，环绕解题目的,通过逐渐消元,实现设而不求.抛物线与过点的直线相交于、两点，为坐标原点，若直线和斜率之和是，求直线的方程。已知点P（3，4)为圆:内一点，圆周上有两动点A、B，当A=90时，以AP、B为邻边，作矩形PB
3、Q,求顶点Q的轨迹方程。补充练习：、设、分别是椭圆的左、右焦点. (）若P是该椭圆上的一种动点,求的最大值和最小值; (）与否存在过点（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得F2|=|2D？若存在,求直线l的方程;若不存在，请阐明理由.解:（）易知 设P（，y)，则 ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4 ()假设存在满足条件的直线l易知点A(5，0）在椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时，直线与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为 由方程组依题意 当时，设交点C，D的中点为R,则又F2C|=|FD| 20k2=20k2,而20k2
4、=20k-4不成立， 因此不存在直线，使得F2C|=|2D|综上所述,不存在直线，使得|F2|F2D| 2. 已知圆上的动点,点在NP上，点G在MP上，且满足. （I)求点的轨迹C的方程; (II）过点(2，0）作直线，与曲线交于、B两点，O是坐标原点，设 与否存在这样的直线,使四边形OASB的对角线相等（即|O|）?若存在，求出直线的方程；若不存在，试阐明理由解：()为P的中点且Q为PN的中垂线|G|=GN|G|GM=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长,半焦距,短半轴长b=，点G的轨迹方程是 分 （2)由于，因此四边形OASB为平行四边形若存在使得=|，则四边形OA
5、SB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在.分设l的方程为 分把、代入存在直线使得四边形AS的对角线相等.答案：一、运用曲线与方程的关系:1.两圆方程相减，得，两圆的交点坐标均满足此方程，故此方程即为公共弦所在直线方程。又圆的圆心到公共弦的距离，且(为公共弦长），,即公共弦长为。注：其中求公共弦的方程时即用到了设而不求思想。2.解：设两个切点分别为P1（)，2（），则切线方程为：，。可见P1（)，P2(）都满足方程,由直线方程的定义得:，即为通过两个切点的直线方程。二、运用圆锥曲线的定义:1.解析:由题意知点为椭圆上一点,根据椭圆的定义。再注意到求的核心是求出这一
6、整体,则可采用如下设而不求的解法：设由椭圆定义得由余弦定理得2得,三、运用点差法：1.解析:设动弦PQ的方程为，设(），Q(），M（),则:得:当时,由题意知，即式与联立消去k,得当时,k不存在,此时,也满足。故弦PQ的中点M的轨迹方程为:。注：通过将P、Q的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程，称为代点相减。这里，代点相减后,合适变形，浮现弦PQ的斜率和中点坐标,是实现设而不求的核心。四、运用韦达定理:1解：（)设双曲线2的方程为，则故的方程为()将由直线与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 由直线l与双曲线2恒有两个不同的交点，得 解此不等式得 由、得故k的取值范畴为2. 解：（1）设P的坐标为,由得（2分)（(4分）化简得 点在双曲线上,其方程为（分） （）设A、点的坐标分别为、，由 得（分），(分）AB与双曲线交于两点,0,即解得（分)若以AB为直径的圆过D（,2）,则DBD,，即，(1分）解得，故满足题意的值存在,且k值为.五、对多元问题,环绕解题目的,通过逐渐消元,实现设而不求1 解：设点，点,直线的方程为, 则，由已知条件,. ,又,则，即， 于是是直线的斜率，直线的方程为.2. 解析：设（），B（),（,y)由题意得:，即。将代入上式并整顿得，即为点Q的轨迹方程。注:本题的目的是找到x、y所满足的方程,而逐渐消去无关的则是解答问题的核心。
