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1、第一章 事件与概率一 事件间的关系(利用图与几何概型作解释比较方便) : 1则有; .2对偶律: .34与互相对立(互斥) 由事件定义 与互不相容 5与相互独立 相互独立 由概率定义 两两独立 附: 零概率事件亦可发生. 时, “与互不相容” 与 “与相互独立” 不可能同时出现. “与独立” , “与独立” , “与独立” , “与独立” 四个命题等价.二 概率计算中的基本公式及综合运用 (首先应认清事件所在的试验与样本空间):1 (去否律) 2 (条件概率公式)附：对两事件而言,虽都 “发生” 了,但.3 (乘法公式) 4 (加法公式) 56有利于事件之基本事件数(事件包含的样本点数) /
2、基本事件总数(样本点总数), (古概公式)7(独立试验序列(概型，二项分布)公式 ) 8 (随机抽样模型(超几何分布)公式)9前提某一事件由诸多事件引发而发生, 且此诸多事件构成一个互不相容事件的完备群时, 极应考虑. 辨析由时属于概问题.附: 例1已知则下列选项成立的是 (B) (A) (B) (C) (D) 解: 左=右= 选择 (B) 例2 (99.一)设两两相互独立的三事件满足条件：且已知则 (1 / 4)解: .例3(03.三) 将一枚硬币独立地掷两次,定义事件：掷第一次出现正面,掷第二次出现正面,正、反面各出现一次,正面出现两次, 则事件 ( C)(A) 相互独立; (B)相互独立
3、;(C)两两独立; (D)两两独立. 解: 可看出应选（C）.例4(06.三) 设A, B 为随机事件，且P(B)0,P(A|B)=1，则必有 （C）(A) P(AB)P(A). (B) P(AB)P(B). (C)P(AB)=P(A). (D) P(AB)=P(B).解: 由P(B)0,P(A|B)=1,有故选（C）.三基本问题选讲:1随机抽球问题：例5在5红3黄2白的十只球中任取6只, 求取到的恰好是3红2黄1白的概率.解：.2盒子问题： 例6将个球等可能地全部放入到个盒子之中(每个盒子中放入的球数不限),求以下事件的概率： 某个指定的盒子中各有1个球; 恰有盒子中各有1个球; 个球落到某
4、个指定的盒子中; 指定的个盒子中共放入了个球(这个盒子中放入的球数不限) .解： ; (从个盒中任取个盒每盒一个地装这个球) ; 从个球中随意取出个(有种取法),剩余的个球随意地放入到剩余的个盒子中(有种放法) ,故很像二项分布; 从个球中随意取出个(有种取法),随意地放入到指定的个盒子中(有种放法),剩余的个球随意地放入到剩余的个盒子中(有种放法) ,故.3随机取数问题：例7从十个数字中任取三个不同的数字，试求以下事件的概率： 三个数字中不含0和5; 三个数字中不含0或不含5; 三个数字中含0但不含5 .解： ; ; .4配对问题：关键: 只有编号的球置于个有号的盒中(每盒各置一只球),若第
5、号球恰被置于第号盒,则称第号盒配对. 则(将两号盒藏着,专等两号球来接, 则其余的个球有种放置法), 例8个客人来时都把雨伞放在门边, 走时每人任取一把。求： 至少有一人选中自己的雨伞的概率; 指定的某个客人未选中的概率; 恰有个客人选中自己的雨伞的概率.解： 设第个客人选中自己的雨伞,则 ; “个客人都未选中雨伞的概率”为 ,则类似的“指定的某个客人未选中的概率”为 ; 可以看出之“和式”中第项应为有个客人选中自己的雨伞的概率; 而“恰有个客人选中”还隐有“另有个客人未选中”, 这一概率已由所给出, 所以 . 5几何概型问题： . 例9设实数满足求的概率.解：, .例10(07.一)在区间随
6、机地取出两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率是 3/4 .解:,画图可知.6条件概率问题：例11从一批废品率为的产品中, 重复抽取件产品, 初步已发现有件废品, 问(在此条件下)这件产品中废品不少与件的概率.解：设这件产品中废品不少于件,这件产品中废品不少于件(显然), 则 7独立试验序列(概型)问题： 例12设某公汽车站每5分钟有一辆车到达(每辆到站公汽都能将站上候车的乘客全载走) , 而每位乘客在5分钟内的任意时刻到达车站是等可能的.求正在车站候车的10位乘客中, 恰有一位候车的时间超过4分钟的概率.解：。8独立性的应用问题： 例13若甲,乙,丙三个小组在一天内独自能将某密谋破译的概率
7、分别为1/ 2, 1/ 3与1/ 4。让这三个小组独立地去破译, 求一天内这三个小组中至少有一个小组能将此秘码破译的概率. 解：分设为甲,乙,丙三个小组独自能将此密谋破译的事件，则 .9全概与逆概问题： 例14一道单选题共列出四个答案, 假设某学生知道正确答案的概率为0.5, 乱猜的概率也是0.5(设他乱猜而猜对的概率为0.25) .如果已知他答对了, 问他确实知道哪个是正确答案的概率为. 解：设他知道正确答案,他乱猜,他答对了,则 故 .第二章 随机变量及其分布一 一元随机变量: 1 . 几个重要分布: ;: ;: ;: ;: ;: ; (注意用表记的另一种形式): .附： 注意分布律,概率
8、密度,分布函数的性质. 正态分布曲线的性态中高边低、左右对称、倒扣的钟形。从渐近线、对称轴、极大值、拐点、陡缓趋势等角度分析。 正态分布的分布函数为以为中心的对称图形. 标准正态分布：其分布函数为函数, 且。 命题：设，则。 分位点：设称满足的为标准正态分布的上(双侧)分位点。例1.设连续型的密度为偶函数是的分布函数,证明对任意实数有1.证: .例2(07.一) 某人向同一目标独立重复射击,其命中率为,则此人的第四次射击恰好是第二次命中的概率是 .解: 第四次射击恰好是第二次命中,说明前三次射击仅命中一次且第四次又命中,故应选( ).例3 设随机变量服从正态分布则随的增大, 概率 ( )(A)
9、 单调增大， (B) 单调减小， (C) 保持不变， (D) 非单调变化。 解：保持不变 (C) 2连续型随机变量函数的分布:设随机变量的密度为 确定 确定 在内; 在内.例4设求的密度.解: 二二元随机变量实际上是随机向量的分布:1离散型随机变量: 联合分布律: 非负性规范性. 分布函数:实际上为点含直线与之左下各取值点概率的累加, 为分段函数. 边缘分布律,条件分布律:若离散型随机变量的联合分布律为 称为关于的边缘分布律; 称为关于的边缘分布律. 附: 随机变量与相互独立 . 若对固定的则称为在的条件下随机变量的条件分布律; 若对固定的则称为在的条件下随机变量的条件分布律 . X Y1/2
10、41/81/61/83/81/21/121/41/31/43/41例5 (99.一) 设随机变量和相互独立, 右表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.再求出各条件分布律. 2 连续型随机变量: 概率密度:非负性规范性. 分布函数:为连续函数. 附:分布函数具有非负, 单调不减, 规范与对各变元右连续等性质. 对连续型随机变量而言,且在的连续点处 . 边缘概率密度与边缘分布函数: 若连续型随机变量的联合概率密度为则 关于的边缘概率密度为; 关于的边缘概率密度为; 关于的边缘分布函数为; 关于的边缘分布函数为. 附: 随机变量与相互独
11、立 . 条件概率密度与条件分布函数: 若连续型随机变量的联合概率密度为则有 若对固定的称为在下的条件概率密度; 若对固定的称为在下的条件概率密度; 若对固定的称为在下的条件分布函数;若对固定的称为在下的条件分布函数 . 例6 设二维随机变量的联合密度为 确定常数; 求的联合分布函数; 求边缘概率密度; 判别与是否相互独立; 求条件概率密度函数.解： . 当或时当时, 当时 当时 当时 由于所以与不相互独立 ; 对每个固定的 对每个固定的.例7(07.一)设随机变量服从二维正态分布,且与互不相关,分别表示与的概率密度,则在的条件下,的条件概率密度是 ( ) .解: 二维正态分布中与互不相关与互相独立故,故选()例8设随机变量的绝对值不大于1; ;在事件出现的条件下, 在(-1, 1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比. 试求： 的分布函数; 取负值的概率. 解：显然, 时，;而 由在事件出现的条件下,在(-1, 1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,
