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1、第二章 一元二次方程1花边有多宽（一）杜寨初级中学 九年级全体教师一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了一元一次方程，掌握了一元一次方程的基本特征及其解法，对于整式的化简学生也已经是轻车熟路，具备了学习一元二次方程的基本技能；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已有了从实际问题中抽象出数学模型的经历，并且明确了元与次的意义，获得了根据方程的特点概括其概念的一些经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书在学生已有的知识经验的基础上，提出了本课的具体学习任务：理
2、解一元二次方程的概念及其二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且是后面学习二次函数的基础，起着承上启下的作用。本节课的教学目标是：1、经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。2、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；在探索过程中培养和发展学生学习数学的主动性，提高数学的应用能力。3、培养学生主动参与、合作交流的意识；经历独立克服困难
3、和运用知识解决问题的成功体验，提高学习数学的自信心。三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：建立模型，探索新知；第三环节：巩固应用，形成技能；第四环节：拓展延伸，层层攀高；第五环节：感悟与收获；第六环节：布置作业。第一环节：创设情景，引入新课活动内容：通过三个具体的问题，引导学生得到三个方程。1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？2、趣味数学：先观察下面等式：102112122132142你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗
4、？ 3、梯子移动如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？活动目的：从学生熟悉的三个实际问题入手，引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤，经历探求思路、建立方程的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，并从中激发学生的学习兴趣，及时教育学生，要学会用数学的眼光观察生活中的现象，培养自己发现问题与解决问题的能力。活动注意事项：学生在已有的知识经验的基础上能从实际问题中寻找出等量关系式，这三个问题教师以填空的形式给出设、列，降低了题目的难度，学生能准确的列出三个方程，从而为新授课赢得了时间。问题如果设花边
5、的宽为x米，那么地毯中央长方形图案的长为 米，宽为 米。根据题意，可得方程 。问题如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， 。根据题意，可得方程 。问题由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m。根据题意，可得方程 。第二环节：建立模型，探索新知活动内容：概括一元二次方程的概念活动目的：通过观察分析化简后的三个方程的特点，让学生在已经学习的一元一次方程的基础上尝试概括一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本特征及其相关概念，从而培养学生的观察能力、分析概括能力，养成独立思考的良好的行为习惯。活动注意事项：三个方
6、程化简后，教师可引导学生类比一元一次方程观察这三个的特点，然后进行汇总，归纳，学生容易漏掉二次项系数不为0的要点，教师可给予必要的引导。具体处理方法如下：由上面三个问题，我们可以得到三个方程： （82x）(52x)=18 即2x2 13x 11 = 0 x2(x1) 2(x2) 2=(x3) 2(x4) 2 即x2 8x 200 (x6) 272=10 2 即x2 12 x15 0引导学生观察上述三个方程有什么共同特点？（提示：我们曾经学习了元一次方程，同学们可以类比着它的要点，看看这些方程有什么特点。）对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方
7、程的要点和定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为（a、b、c为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。（1）强调三个特征：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2且其系数不为0。（2）几种不同的表示形式：ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0)ax2+bx=0 (a0,b0,c=0)ax2+c=0 (a0,b=0,c0)ax2=0 (a0,b=0,c=0)(3)相关概念：一元二次方程的一般形式：ax2bxc=0(a,b,c为常数，a不等于0)一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c二次项系数为：a 一次项系数为：b第三环节：巩固应用，形成技能活动
8、内容：1、判一判，下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x26x0 (2)2x25xy6y0 (3)2x2-1/3x-1=0 （4）y2/2=0 (5)x22x31x2 (6)ax2+bx+c=02、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03、想一想：关于x的方程(k3)x2 2x10,当k 时，是一元二次方程当m取何值时，方程(m-1)xm+I+2mx+3=0是关于x的一元二次方程？活动目的：巩固一元二次方程的定义及其相关概念活动注意事项：问题1可让学生口答，并且说明
9、是与不是的原因；问题2的一般形式不唯一；问题3重点考察一元二次方程的二次项系数不能是0，学生若明确一元二次方程的基本特征，此题不难解决。第四环节：拓展延伸，层层攀高活动内容：1、关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k 时，是一元二次方程,当k 时，是一元一次方程2、关于x的方程(a2+2a+2)x2+6x-3=0是一元二次方程吗？请说明原因。3、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程4、在感受前面素材及归纳一元二
10、次方程形式特点的基础上，启发学生编拟一道与自己身边生活有关的应用题，使列出来的方程是一元二次方程，并与同伴交流。活动目的：继续巩固一元二次方程的定义。通过部分问题的分组讨论，培养学生主动参与、合作交流的意识；让学生经历独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，提高学习数学的自信心。活动注意事项：问题1、3可让学生独立解决，问题2、4分小组讨论解决时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。小组交流时，教师参与到小组合作学习中，并给予必要的个别指导，选取一个小组的同学公布本组答案，其他小组的同学进行点评。第五环节：感悟与收获活动
11、内容：师生相互交流，本节课学了哪些知识？有什么体会？在本节课中，对自己及其他同学们的学习表现满意吗？ 活动目的：教师鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想，教师适当地给予鼓励，培养学生的语言表达能力、概括能力及善于归纳总结良好的学习习惯。活动注意事项：教师不要事事包办，要大胆放手，给学生一个展现自我的机会，让学生畅所欲言，对于学生的精彩表现要要及时鼓励、肯定。第六环节：布置作业课本P49 习题2.1第一题四、教学反思1.要体现变“教教材”为“用教材教”的课改理念教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课的设计中教师可根据学生的实际情况，若学生基本功扎实，有较强的分析解决问题的能力，情境中的三个问题可不必采用填空的形式，放手让学生自己解决，个别题目可用多种设法列法，如题2。设计的题量可加大一些，对于编应用题一题可让学生充分发挥自己的水平，多交流。2.给学生提供自我展示的平台本节设计中一元二次方程定义的概括过程及小组合作交流的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，让学生畅所欲言，更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度及主动参与、合作交流的意识。4
