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1、高考数学大一轮总复习 7.7 数学归纳法高效作业 理 新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(xx白山一模)欲用数学归纳法证明：对于足够大的正整数n，总有2nn3，那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A1B9C10 Dn10，且nN*解析：2101024103.故应选C.答案：C2(xx平顶山一模)用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程中，第二步假设当nk(kN*)时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k112k1C12222k12k12k11D122
2、22k12k2k12k解析：由nk到nk1等式的左边增加了一项，故选D.答案：D3(xx常州一模)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1(kN*)时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假设nk(kN*)时，k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设证明，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可故应选A.答案：A4(xx洛阳一模)凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(
3、n)n1 Df(n)n2解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条故选C.答案：C5(xx温州一模)数列an中，已知a11，当n2，且nN*时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2 Bn2C3n1 D4n3解析：计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2(nN*)故应选B.答案：B6(xx山师附中质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k
4、1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：对于A，若f(3)9成立，由题意只可得出当k3时，均有f(k)k2成立，故A错；对于B，若f(5)25成立，则当k5时均有f(k)k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)49成立，则当k7时，均有f(k)k2成立”，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(xx上海调研)观察下式：112；23432；3456752；4567891072；.则可
5、得出第n个式子为_解析：各式的左边是第n个正整数到第3n2个连续正整数的和右边是奇数的平方，故可得出第n个式子是：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2(nN*)答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2(nN*)8(xx粤西北九校联考)设S112，S2122212，Sn122232(n1)2n2(n1)22212，用数学归纳法证明Sn时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为_解析：由S1，S2，Sn可以发现由nk到nk1时，中间增加了两项(k1)2k2(n，kN)答案：(k1)2k29(xx江西八校联合模拟)若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_解析：
6、f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)210(xx怀化二模)已知数组：，.记该数组为：(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，则a200_.解析：通过观察数组可以发现，第n组数中共有n个数，每个数的分子与分母的和等于n1，又因为1219190(n2且nN*)证明：(1)当n2时，0，不等式成立(2)假设nk(k2且kN*)时，原不等式成立即，则当nk1时，左边.当nk1时，原不等式也成立由(1)(2)知，原不等式对n2的所有的正整数都成立，即(n2且nN*)成立13(xx威海一模)设数列an满足an1anan1，nN*.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a12时，证明nN*，有ann1.解：(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一个通项公式为：ann1(nN*)(2)证明：当n1时，a12，不等式成立假设当nk(kN*且k1)时不等式成立，即akk1，那么当nk1时，ak1ak(akk)1(k1)(k1k)1k2，也就是说，当nk1时，ak1(k1)1.根据和，对于所有kN*，都有ann1.
