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1、3.1直线的倾斜角与斜率导学案【学习目标】(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.(3) 理解直线的斜率的存在性.(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式(5) 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.【导入新课】 问题导入：（1）经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, 易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? 它们都经过点P. (2)它们的倾斜程度不同. 怎样描述这种倾斜程度的不同?新授课阶段1.直线的倾斜角的概念当直线与轴相
2、交时, 取轴作为基准, x轴正向与直线 之间所成的角叫做直线的倾斜角.特别地,当直线与轴平行或重合时, 规定= 0.问: 倾斜角的取值范围是什么? 当直线 与轴垂直时, 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线abc, 那么它们的倾斜角相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角不能确定一条直线。确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素： 一个点P和一个倾斜角.。2.直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 当直线与轴 时, =0,
3、k = tan0=0;当直线与轴 时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, =45时, k = tan45= 1; =135时, k = tan135= tan(180 45) = - tan45= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导如何作辅助线,斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当 时，公式右边无意义，直线
4、的斜率不存在，倾斜角= 90, 直线与x轴垂直；(2)k与、的顺序无关, 即和在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角=0，直线与轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到例1 两条平行直线分别过点P（2，2），Q（1，3），它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕着P、Q旋转并且保持互相平行。（1） 求d的变化范围；（2） 用d表示这两条直线的斜率；（3） 当d取最大值时，求两条直线的方程。解： 3.两条直线平行与垂直的条件两条直线都有斜率而且
5、不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果k1=k2, 那么一定有L1L2; 反之则不一定.两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 注意: 结论成立的条件. 即如果k1k2 = -1, 那么一定有L1L2; 反之则不一定.例2 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 例3 已知A(-6,0),
6、 B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系。解: 课堂小结1.直线的倾斜角和斜率的概念；2.直线的斜率公式及其灵活运用。3.直线的位置关系的条件的运用。作业见同步练习部分拓展提升1直线xtany20的倾斜角是()A. B. C. D2下列说法中，正确的是()y1k(x2)表示经过点(2，1)的所有直线；y1k(x2)表示经过点(2，1)的无数条直线；直线y1k(x2)恒过定点；直线y1k(x2)不可能垂直于x轴()A B C D3设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线的倾斜角为45，则()A0180 B013
7、5 C0135 D01354已知ABC的三个顶点A(3，1)，B(5，5)，C(6,1)，则AB边上的中线所在的直线方程为_。5过点P(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是()A1条 B2条 C3条 D4条6直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的范围是()A0 B. C. D.0且a1)，当x0时，f(x)1，方程yax表示的直线是()参考答案新授课阶段1.直线的倾斜角的概念向上方向 0180. = 90.2.直线的斜率:正切值 k = tan 平行或重合；垂直 (三) 直线的斜率公式: 例1 （1）解法一 设过点P（2，2）的直线l1方程为： Ax+B
8、y+C1=0，过点Q（1，3）的直线l2方程为Ax+By+C2=0，由于点P、Q在直线上，得2A2B+C1=0，A+3B+C2=0，两式相减得C1C2=3A5B，两直线间的距离为 = ，即：（d29）A230AB（d225）B2=0 （） 当B0时，两直线斜率存在，有（d29）（）230（）d225=0由d0及0得：（30）24（d29）（d225）0从而0d 当B=0时，两直线分别为x=2，与x=1，它们间的距离为3，满足上述结论。综上所述，d的取值范围是（0，解法二 两平行直线在旋转过程中，0dPQ，而PQ=，故d的取值范围是（0，。（2）当B0时，两直线斜率存在，从方程中解得=,直线的斜
9、率k= = （3）当d=时，k= =，对应两条直线分别为l1：3x5y16=0,l2：3x5y18=0 3.两条直线平行与垂直的条件 例2 解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4)=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3)=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BAPQ.例3 解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6)=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为k1k2 = -1 所以ABPQ.课堂小结1.直线的倾斜角和斜率的概念；2.直线的斜率公式及其灵活运用。3.直线的位置关系的条件的运用。拓展提升1C【解析】 由已
10、知可得tantan，因为0，)，所以.故选C。2B【解析】 y1k(x2)表示的直线的斜率一定存在，且恒过点(2，1)，所以，它不能表示垂直于x轴的直线，故错误，其余三个都对故选B。3D【解析】 因为直线倾斜角的取值范围是0，180)，且直线l与x轴相交，其倾斜角不能为0，所以4545180，得0135，故选D。42xy110【解析】 易知AB边的中点坐标为D(4，3)，因为AB边上的中线所在的直线经过点C、D，由两点式得，化简得2xy110。5B【解析】 注意到直线过原点时截距相等，都等于0和不过原点时倾斜角为135两种情况，所以这样的直线有2条故选B。6C【解析】 直线l的斜率ktanm211，所以。7C【解析】 必为钝角，且sin的绝对值大，故选C。8C【解析】 由已知可得a(0,1)，从而斜率k(0,1)，且在x轴上的截距的绝对值大于在y轴上的截距，故选C。
