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1、数学教学案 授课人：邱瑶 时间：8月31日课题正弦定理、余弦定理与解三角形课型复习课时数3教学目标1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题重点掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题难点能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题教学方法自主合作探究教学媒体PPT环节教 学 过 程学生活动设计意图课堂自主导 学知 识 梳 理1正、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bc
2、cos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形a2Rsin A,b2Rsin_B,c2Rsin_C；sin A,sin B,sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin Br,并可由此计算R,r. 3实际问题中的常用角仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的
3、方位角为方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30,北偏西45等坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值诊 断 自 测1判断正误精彩PPT展示在ABC中,AB必有sin Asin B在ABC中,a,b,B45,则A60或120.从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为180.方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均是.2在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a2b,则的值为ABC1D解析由正弦定理知,221,又知3a2b,所以,221,故选D答案D3一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向
4、直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是A10海里B10海里C20海里D20海里解析如图所示,易知,在ABC中,AB20海里,CAB30,ACB45,根据正弦定理得,解得BC10答案A4在ABC中,A60,AC2,BC,则AB等于_.解析由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A,即34AB22AB,即AB22AB10.解得AB1.答案15在ABC中,acos Abcos B,则这个三角形的形状为_.解析由正弦定理,得sin Acos Asin Bcos B,即sin 2Asin
5、 2B,所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形梳理知识,加强记忆.知识总结.自我检测.帮助学生构建知识网络.帮助学生总结实际问题中常用角.初步运用知识,总结题型方法.知识运用导练考点一正、余弦定理的简单运用例1 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2,b,A45,则c_.若ac,则B_.解析法一在ABC中,由正弦定理得sin B,因为ba,所以BA,所以B30,C180AB105,sin Csin 105sinsin 45cos 60cos 45sin 60.故c3.法二在ABC中,根据余弦定理可得a2b2c22b
6、ccos A,即c22c60,所以c3.因为c0,所以c3.因为ac,所以a2c2b2ac.由余弦定理的推论得cos B,所以B.答案3训练1 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c22a22b2ab,则ABC是A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形在ABC中,A60,b1,SABC,则_.解析由2c22a22b2ab,得a2b2c2ab,所以cos C0,所以90C180,即ABC为钝角三角形SABCbcsin A,c4,a2b2c22bccos A124224113,a,2R2R.答案A考点二正、余弦定理的综合运用例2在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b
7、,c.已知a3,cos A,BA.求b的值；求ABC的面积解在ABC中,由题意知,sin A,因为BA,所以sin Bsincos A.由正弦定理,得b3.由BA,得cos Bcossin A.由ABC,得C所以sin Csinsinsin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.训练2在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且abc8.若a2,b,求cos C的值；若sin Acos2sin Bcos22sin C,且ABC的面积Ssin C,求a和b的值解由题意可知c8.由余弦定理得cos C.由sin Acos2sin Bcos22sin C可
8、得：sin Asin B2sin C,化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C .因为sin Acos Bcos Asin Bsinsin C,所以sin Asin B3sin C由正弦定理可知ab3c.又因为abc8,故ab6.由于Sabsin Csin C,所以ab9,从而a26a90,解得a3,b3.考点三正、余弦定理在实际问题中的应用例3 如图,在海岸A处,发现北偏东45方向距A为海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75方向,距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉
9、私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间解设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获走私船,则有CD10t,BD10t在ABC中,AB海里,AC2海里,BAC4575120,根据余弦定理,可得BC根据正弦定理,可得sinABC.ABC45,易知CB方向与正北方向垂直,从而CBD9030120.在BCD中,根据正弦定理,可得sinBCD,BCD30,BDC30,BDBC,则有10t,t0.245小时14.7分钟故缉私船沿北偏东60方向,需14.7分钟才能追上走私船训练3如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角MAN60,C点的仰角CAB45以与
10、MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m,则山高MN_m.解析在RtABC中,CAB45,BC100 m,所以AC100在AMC中,MAC75,MCA60,从而AMC45,由正弦定理,得,因此AM100在RtMNA中,AM100 m,MAN60,由sin 60,得MN100150答案150微型专题解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容,其实质是将几何问题转化为代数问题与方程问题解答这类问题的关键是正确分析边角关系,依据题设条件合理地设计解题程序,将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等例4 已知ABC顶点的坐标分别为A,B,C,则sin A的值为_.点拨先把坐标用向量来表示,再利用向量的数量积求解即可解析因为,所以61610,|5,|2.所以cos,.即cos A,因为0A,所以sin A.答案深度思考已知两边与其中一边所对的
