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1、求异面直线所成的角祁正红求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版(A )版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是 异面化共面，认定再计算 即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来 求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何 法求解，这是高二数学人教版(B)倡导的方法，下面举例说明两种方法的应 用。例：长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB=AA仁2cm，AD=1cm，求异面直线 A1C1与BD1所成的角。解法1:平移法设A1C1与B1D1交于0,取B1B中点E,连接0E,因为OE/D1B，所以/ C10E或
2、其补角就是异面直线 A1C1与BD1所成的角 C10E中0C1 =212A1C1=252? 220E=BD121+2=212+1=2232=22 C1E=B1C1+B1E21+1+0E2所以 cos/ C10E=? 5? 3? ? +? ? - 2? 2?2?=5552? 32220C-C1E20C1? 0E(2)2=5 所以/ C10E=arcc5所以异面直线A1C1与BD1所成的角为arccos图1解法2:补形法在长方体ABCD A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将 AC平 移到BE，则/ D1BE或其补角就是异面直线 A1C1与BD1所成的角，在 BD1E 中，BD1
3、=3, BE=5, D1E=4+222=25cos/ D1BE=3+22BD21+BE2BD212-D1E2? BE=(5)-(25)2? 3? 5=-55arccos55所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图2解法3:利用公式cos 0 =cos ? Cos 0 2设0A是平面a的一条斜线，0B是0A在a内的射影，0C是平面a内过0的任 意一条直线，设0A与0C、0A与0B、0B与0C所成的角分别是 0 0 10 2 则cos 0 =COS?1OS02(注：在上述题设条件中，把平面 a内的0C换成平面a内 不经过0点的任意一条直线，贝U上述结论同样成立)D1B在平面ABCD内射影是BD，A
4、C看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为 / A0D，D1B与BD所成角为/ D1BD，设cos/ D1BD=D1BBDBD1 与 5AC 所成角为 0, cos 0 =cs/ D1BD? cos/ A0D，=5。cos/ A0D=20D+0A2-AD220D ? 0A2=? 5? 5? ? + ? -12 2? 2?2? 52? 52=35cos 0 =co/D1BD? cos/ A0D=5355? 350 =arccos55arccos55所以所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图3cos 0 =ab|a|b|解法4：向量几何法：AD、AA1为空间一组基向量 设A
5、B、AB=a,AD=b,AA 仁c|a|=2,|b|=1,|c|=2a? b=0,a? c=0,b? c=0BD1- =BA+AA1+A1D仁b+c -aA1C1=a+b 2A1C1=|a+b|= 2+1=25 2222|BD|=|b+Ga|=|b|+|a|+|c|=3 1 22BD1? A1C1=(b+c-a)(a+b)=|b|-|a|=1-4=-3cos BD1 ? A1C1|BD1|A1C1|-33555=-arccos55所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图4解法5:向量代数法：cos 0 =a1b1+a2b2+a3b3222222a1+a2+a3 b1+b2+b3以D为坐标原点，
6、DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A (0,1, 0)、C (2, 0, 0), B (2, 1, 0)、D1 (0, 0, 2), BD1=(-2,-1,2),AC=(2,-1,0) -55cos=-5 35所以异面直线A1C1与BD1所成的角为arccos55图5解法6:利用公式2AC? BD定理：四面体A BCD两相对棱AC、BD间的夹角B必满足cos 0D=AD2cos 9 =AD2+BC2AB2-DC2+BC2-AB2-DC22AC? BD图6解：连结BC1、A1B在四面体B-A1C1D1中，异面直线A1C1与BD1所成的角 是 9,易求得 A1C仁BC1=5,A1B=22,BD仁3图 7 cos 9 =A1D1+BC21-A1B2-D1C12由定理得：=122A1C1? BD+(5)-(22)221 2-2 2? =55 5? 355 所以0 =arccos
