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1、导数及其应用一 . 【知识梳理】1. 概念 ：函数 y=f(x),如果自变量x 在 x 0 处有增量x ，那么函数y 相应地有增量y =f（ x 0 +x ） f （ x 0 ），比值y叫 做 函 数 y=f（ x ） 在 x0到 x0+x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即xy = f (x0x)f ( x0 ) 如果当x0xx时，y 有极限，我们就说函数y=f(x)在点 x0 处可导，并把这个极限叫做f （ x）x在点 x 0 处的导数，记作f （ x0）或 y |即 f （ x0） = limy = limf ( x0x)f ( x0 ) x x0x0xx0x2. 几何意义： 函数
2、y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ， f（x 0 ）处的切线的斜率3. 导数的运算：常见基本初等函数的导数公式：C0 ( C 为常数 )； ( xn )nxn 1； (sin x)cos x； (cos x)sin x；(ex )ex ；(a x )ax ln a（ a 0 且 a 1)；(ln x)1；(log a x)1 log a e（ a 0xx且 a 1) 常用导数运算公式：法则 1 ： u( x)v(x)u ( x) v ( x) 法则 2 ： u( x)v( x)u (x) v(x) u(x) v ( x) 法则 3 ： u
3、( x)u (x) v( x) u(x) v (x)(v(x) 0) v( x)v2 ( x)4. 导数的应用：导数与切线的关系；导数与函数的单调性的关系；用导数求极大值、极小值；用导数求最大值、最小值 .题型 1：定义例 1.已知曲线 y1 x2 和这条曲线上的一点P (1,1 ) ，点 Q 是曲线上的点P 附近的一点，则44点Q的坐标是 ()A. (1x,(x) 2 )B. ( x,1( x)2 )C.(1 x,1(1x) 2 )D.44( x,1(1x)2 )4例 2.设函数 f (x) 在点 x0处附近有定义，且f (x0x)f ( x0 )a xb(x) 2 （ ab 为常数），则(
4、)A.f ( x)aB.f (x)bC.f ( x0 )aD.f (x0 )b例 3. 设 f ( x) 在点 x0 处可导，且 f ( x0 )A ，求下列各值。（1） limf ( x0x) f ( x0 )（ 2） limf (x0 4 x) f (x0 5 x)xxx 0x 0练习 1. 设 f (x) 在点 x0处可导，且 f (x0 )A ，求下列各值。（1） limf ( x0 m x)f ( x0 )（ 2） limf (x0 x) f ( x0 3 x)2 xxx 0x 0练习 2.设函数 f ( x) 在 xx0 处可导，且 limf (x03 x)f (x0 )1, 则
5、f (x0 ) =x 0x练习 3.已知函数 y f ( x) 在 x a 处可导，且f (a)A .试求 lim f (2 x a)f (2a x) =xaxa练习 4.设函数 f ( x) 在 xa 处可导，且 f (a)A ，则 limf ( ah2 ) f (a) =h 0h题型 2：导数的运算1. 求下列函数的导数：（ 1 ） yx3sin x（ 2） y2x33x25x4（ 3） y x2 cos x（ 4）sin xyx题型 2：导数与切线的关系利用导数求曲线的切线方程的步骤：求出 yfx 在 x0 处的导数 fx0 ；利用直线方程的点斜式得切线方程为yy0fx0 xx01 函数
6、 f( x)在 R 上可导，且 f (0) 2.?x， y R，若函数f(x y) f(x)f(y)成立，则f(0) _.题型 3：导数与单调性的关系利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数 f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式 f (x) 0，得函数的单调递增区间； 解不等式 f (x)0，得函数的单调递减区间注：若 f (x) 0，则函数单调递增；若f (x) 0，则函数单调递减.若函数单调递增，则f ( x)0 ；若函数单调递减，则f ( x)0 .1. 函数 f ( x)x( a b 1),则 ()exA f ( a) f (b)B. f (a) f (b
7、)C f (a) f (b)D. f (a), f (b) 大小关系不能确定2 设函数 y f(x)在 (a， b)上可导，则A 必要不充分条件C充分必要条件f(x)在 (a， b)上为增函数是f (x)0 的 (B充分不必要条件D既不充分也不必要条件)题型 4：导数与极大（小）值一般地，当函数f(x)在点 x0 处连续时，判别f( x0 )是极大（小）值的方法是：如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，那么 f(x0)是极小值；注意：导数为 0 的点不一定是极值点1. 函数 yf
8、 ( x) 在一点的导数值为0 是函数 yf (x) 在这点取极值的（）A充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件2. 函数 f xax3x1有极值的充要条件是.3. 已知函数 yx33xc 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则c （）A 2或2B 9或3C 1或1D 3或14求函数y = x3 - 3x2 - 9x (- 2 x 2)的极值 .5 若函数 f(x) ax3 bx 4，当 x 2 时，函数 f(x)有极值 4.3(1)求函数的解析式(2)若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数k 的取值范围题型5：导数与最大（小）值1. 求函数yx44x3 在区间2,3上的最大值和最
9、小值.导数解答题综合题(前两问多为以上题型,最后一问综合)1已知函数f (x)1 x2 1 x ln( x a) ，其中常数 a 0.4 a（ I ）若 f (x)在x 1处取得极值，求 a 的值；（ II ）求 f ( x) 的单调递增区间；2 (2013 福建， 17)( 本小题满分13 分 ) 已知函数f ( x) x alnx( a R) (1) 当 a 2 时，求曲线 y f ( x) 在点 A(1 ， f (1) 处的切线方程；(2) 求函数 f ( x) 的极值3.ax 2的图象在点 (2,f(2)处的切线方程为 y = 2.已知函数 f (x)2x b( I ) 求 a,b 的值及 f(x)的单调区间；(II ) 是否存在平行于直线1y = x 且与曲线 y=f(x) 没有公共点的直线？证明你的结论；24 已知函数 f(x) x3 ax2 bx c 在 x 1 与 x 2 处都取得极值(1) 求 a，b 的值及函数 f(x)的单调区间；32(2) 若对 x 2,3 ，不等式f( x) 2cc 恒成立，求c 的取值范围5
