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1、第3讲数列的综合问题考情研析1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为58分.核心知识回顾数列综合应用主要体现在以下两点：(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“
2、新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力热点考向探究考向1 数列与函数的综合问题例1(2019上海市青浦区高三二模)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，且不等式|f(x)|2019|2xx2|对任意的x0,10都成立，数列an是以7a为首项，公差为1的等差数列(nN*)(1)当x0,10时，写出方程2xx20的解，并写出数列an的通项公式(不必证明)；(2)若bnanan(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，对任意的nN*，都有Sn0可得Sn，由Sn0且2Snaan(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若an0，令bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tn0，则a
3、11，当n2时，anSnSn1，即(anan1)(anan11)0anan1或anan11，an(1)n1或ann(n2)，又a11满足上式，an(1)n1或ann，nN*.(2)由an0，ann，bn2，Tn2233，若Tnm恒成立，则m3，又mZ，mmin3.(1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩(2)注意放缩的尺度：如，.(2019安徽黄山高三第二次
4、质检)已知数列的前n项和Snn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：对于任意的nN*，都有Tn1.解(1)因为Snn，当n2时，Sn1n1，由，得1，故ann1，又因为a12适合上式，所以ann1(nN*)(2)证明：由(1)知，bn，Tn1，所以Tn的最小的n值解(1)设等差数列an的公差为d，由S10120得10a145d120,2a19d24，由a2a1，a4a2，a1a2成等比数列，得d(2a1d)4d2且d0，2a13d，a13，d2，等差数列an的通项公式为ana1(n1)d3(n1)22n1.(2)Snna1n(n2)，Tn，由Tn得
5、60，n的最小值为14.2(2019河北衡水中学高三下学期一调)已知数列an的前n项和Sn满足0，a11.(1)求数列an的通项公式；(2)在数列an的前100项中，是否存在两项am，at(m，tN*，且mt)，使得，三项成等比数列？若存在，求出所有的m，t的取值；若不存在，请说明理由解(1)因为0，所以 1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(n1)1n，所以Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.又2111a1，所以an2n1(nN*)(2)若，三项成等比数列，则2，即2，即(2m1)23(2t1)因为t100，所以(2m1)2597，又mN*，所以2m124
6、，所以m12.又2m1为3的奇数倍，所以m2,5,8,11，验证得3(2019浙江高考)设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3.数列bn满足：对每个nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记cn，nN*，证明：c1c2cn2，nN*.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得从而an2n2，nN*.所以Snn2n，nN*.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列，得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)解得bn(SSnSn2)所以bnn2n，nN*.(2)证明：cn ，nN*.我们用数学归纳法证明当n1时，c102，不等式成立
7、；假设当nk(kN*)时不等式成立，即c1c2ck2.那么，当nk1时，c1c2ckck12 2 222()2，即当nk1时不等式也成立根据和，不等式c1c2cn2对任意nN*成立金版押题4已知函数f(x)cosxsinx(xR)的所有正的零点构成递增数列an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)f(x)cosxsinx2cos，由题意令xk(kZ)，解得xk(kZ)又函数f(x)的所有正的零点构成递增数列an，所以an是以为首项，1为公差的等差数列，所以ann(nN*)(2)由(1)知bnnnn，则Tn112233(n1)n1nn，Tn122334(n1)nnn1，得，Tn
