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1、圆和圆的位置关系导学案学习目标1. 理解圆与圆的位置的种类 .2. 利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长 (圆心距 ).3. 会用连心线长判断两圆的位置关系 .重点、难点重点: 能根据给定圆的方程 ,判断圆与圆的位置关系 .难点: 用坐标法判断圆与圆的位置关系 .问题导学问题 1: 圆与圆的位置关系可分为五种 : 相离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内 含.判断圆与圆的位置关系常用方法 :(1) 几何法 :设两圆圆心分别为 O1、O2,半径为 r 1、r 2 (r 1r2), 则|O1O2|r 1+r2? 相 离;|O 1O2|=r 1+r 2? 外切 ;|r 1-r 2|
2、O 1O2|r 1+r 2? 相交 ;|O 1O2|=|r 1-r 2| ? 内切 ;0|O1O2|r 1-r 2| ? 内含 .(2) 代数法 : 设两圆方程分别为 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 联立方程组 , 若方, 则两圆 相切 ; 若方 , 因此一般不用 .程组有两组不同的实数解 ,则两圆 相交 ; 若方程组有一组实数解 程组无实数解 , 则两圆 相离或内含 . 代数法无法判断具体是哪种 问题 2: 如何判断两个圆公切线的条数 ?(1)(2)(3)(4)(5)当两个圆外离时 当两个圆外切时 当两个圆相交时 当两个圆内切时 当两个圆内含
3、时, 有四条公切线 : 两 条外公切线 , 两 , 有三条公切线 : 两 条外公切线 , 一 , 有 两 条外公切线 ., 有 一 条外公切线 ., 无公切线 .条内公切线 . 条内公切线 .问题 3:两个圆相交时 , 如何求相交弦的方程 ?2 2 2 2设圆 C1:x 2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x 2+y2+D2x+E2y+F2=0, 联立得方程组两个圆的方程相减得 (D1-D2)x+(E 1-E 2)y+(F 1-F2)=0, 即为两个圆相交弦所在的直线方程问题 4: 如何求经过两个圆交点的圆系方程?2 2 2 2设圆 C1:x 2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x
4、 2+y2+D2x+E2y+F2=0, 则经过两个圆交点的圆系方程可表示为2 2 2 2x +y +D1x+E1y+F1+ (x +y +D2x+E2y+F2)=0( -1).对该方程要注意两点 : 一是该方程包含圆 C1, 不包含圆 C2, 具体应用时要注意检验 C2 是不是 问题的解 ; 二是若已知两个圆相切 , 则在圆系方程中的任何两个圆一定相切 .学习交流1. 圆 x 2+y2-2x=0 和圆 x2+y2+4y=0 的位置关系是 ().A.相离B.外切C. 内切D. 相交【解析】两圆化成标准形式为 (x-1) 2+y2=1 和 x2+(y+2) 2=4, 两圆圆心距 |O1O2|=.又
5、 1=|1-2|1+2=3, 两圆相交 , 选 D.【答案】 D2 2 2 22. 圆 C1:x 2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x 2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有 ( ).A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条2222【解析】圆 C1:(x+1) 2+(y+1) 2=4,圆 C2:(x-2) 2+(y-1) 2=4, |C 1C2|= 0)的公共弦的长为 2, 则 a= .【解析】 两圆公共弦所在直线方程为 (x 2+y2+2ay-6)-(x 2+y2-4)=0, 即 y=, 圆心 (0,0) 到直线 的距离为 d=|=1, 解得 a=1或a=-1( 舍去)
6、.【答案】 1224. 求与已知圆 x2+y2-7y+10=0 相交,公共弦平行于直线 2x-3y-1=0, 且过点 (-2,3) 、(1,4) 的圆的 方程 .【解析】 公共弦所在直线斜率为 , 已知圆的圆心为 (0,), 两圆圆心所在直线的方程为 y-=-x, 即 3x+2y-7=0. 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以所求圆的方程为 x2+y2+2x-10y+21=0.知识探究探究一圆和圆的位置关系的判定已知圆 C1:x 2+y2-2mx+4y+m2-5=0, 圆 C2:x 2+y2+2x-2my+m2-3=0. 当 m为何值时 ,(1) 圆 C1 与圆 C2
7、相外切 ;(2) 圆 C1与圆 C2内含 .【方法指导】 圆和圆的位置关系 , 可从交点个数也就是方程组解的个数来判断, 也可从圆心距与两圆半径和、差的关系来判断 .2 22 2【解析】 对于圆 C1与圆 C2的方程,经配方后 C1:(x-m) 2+(y+2) 2=9;C2:(x+1) 2+(y-m) 2=4.2 2 2(1) 如果 C1与 C2外切,则有=3+2,即(m+1) 2+(m+2)2=25,即m2+3m-10=0,解得 m=-5或 m=2.(2) 如果 C1与 C2内含 , 则有 3-2, 即(m+1) 2+(m+2)21,m2+3m+20,得-2m-1. 所以,当m=-5或m=2
8、时,圆C1与圆 C2外切;当-2m-1时,圆C1与圆 C2内含. 【小结】圆和圆的位置关系 , 从交点个数也就是方程组解的个数来判断 , 有时得不到确切的 结论, 通常还是从圆心距与两圆半径和、差的关系入手 .探究二圆和圆的相交弦问题已知圆 C1:x 2+y2+2x-6y+1=0, 圆 C2:x 2+y2-4x+2y-11=0, 求两圆的公共弦所在的直线方程及公 共弦长 .【方法指导】两圆的方程相减即可得公共弦所在的直线方程 . 求弦长通常有两种方法 :(1) 利用弦心距、半径来求解 ;(2) 联立直线与圆的方程 , 通过解方程组得交点坐标 , 再用两点间距 离公式求解 .【解析】设两圆交点为
9、 A、B,则 A、B两点坐标是方程组 的解, 两式相减得 :3x-4y+6=0. 因 为A、B两点坐标都满足此方程 ,所以 3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程 .因为圆 C1的圆心为 (-1,3), 半径为 3, 点 C1到直线 AB的距离为 d=,所以 |AB|=2=2=, 所以两 圆的公共弦长为 .【小结】求解圆与圆相交弦问题 , 可结合图形 , 利用弦心距、半弦之间的关系 , 充分利用圆 的几何性质 .探究三圆与圆相交的连心线问题2 2 2 2已知圆 C1:x +y -4x-2y-5=0 与圆 C2:x +y -6x-y-9=0.(1) 求证 : 这两个圆相交 .(2) 求
10、这两个圆公共弦所在的直线方程 .(3) 在平面上找一点 P, 过 P点引这两个圆的切线并使它们的长都等于6.【方法指导】利用这两个圆的连心线长与这两个圆的半径之和、半径之差的绝对值之间的 关系进行证明 . 求公共弦的方程使用圆系方程 .2 2 2 2【解析】 (1) 圆 C1:(x-2) 2+(y-1) 2=10, 圆 C2:(x-3) 2+(y-) 2=.两圆圆心距 |C1C2|=, 且- +,圆 C1与圆 C2相交 .(2) 联立两个圆的方程相减即得这两个圆公共弦所在直线方程为 2x-y+4=0.(3) 设 P(x,y), 依题意得解方程组得点 P(3,10) 或 (-,-).【小结】解决
11、直线与圆以及圆与圆的位置关系的相关问题时 , 一定要根据图形进行适当的 联想, 根据图形间的关系来寻求数量间的关系 , 从而找到解题思路 ,这恰好也是新课标所倡导 的. 本题有一定的综合性 , 将位置关系的几个问题综合在一起 , 求解时要注意数形结合 .知识应用一2 2 2 2已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0. 求 :(1)m 取何值时两圆外切 ?(2)m 取何值时两圆内切 ?(3) m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 .【解析】 两圆的标准方程分别为 (x-1) 2+(y-3) 2=11,(x-5) 2+(y-6) 2=61-m
12、, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6), 半径分别为和 .(1) 当两圆外切时 ,=+. 解得 m=25+10.(2) 当两圆内切时 , 因定圆的半径小于两圆圆心间距离 , 故有 -=5. 解得 m=25-10.(3) 两圆的公共弦所在直线的方程为 (x 2+y2-2x-6y-1)-(x 2+y2-10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系 , 得公共弦的长为2 =2.知识应用二已知圆 O1:x2+(y+1) 2=4,圆 O2的圆心坐标为 (2,1), 且两圆外切 ,求圆 O2的方程 ,并求内公切 线的方程 .【解析】 因为两圆圆心坐标分别为
13、(0,-1) 、 (2,1), 由两圆外切 , 得|O1O2|=r 1+r 2=2,所以 r 2=2-2,所以圆 O2 的方程为 (x-2) 2+(y-1) 2=4(-1) 2.两圆方程相减 , 得 x+y+1-2=0, 即为两圆内公切线的方程 .知识应用三2 2 2 2求过圆 C1:x 2+y2+6x-4=0 和圆 C2:x 2+y2+6y-28=0 的交点 , 且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方 程.【解析】( 法一) 两个圆的圆心分别为 (-3,0),(0,-3), 所以两个圆的连心线所在直线的方程 为 x+y+3=0.由得圆心 (,-).利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共
14、弦长d=, 两个已知圆的公共弦所在的直线方程为 x-y+4=0,所以圆半径 r 2=() 2+ 2=.故所求圆的方程为 (x-) 2+(y+) 2=,即 x2+y2-x+7y-32=0.2 2 2 2(法二 )设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+ (x 2+y2+6y-28)=0,即 x 2+y2+x+y-=0.故此圆的圆心为 (,), 它在直线 x-y-4=0 上 ,所以 -4=0, 解得 =-7.故所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0.基础检测2 2 2 2 21. 已知圆 C1:x 2+y2=4 与圆 C2:x 2+y2-2ax+a 2-1=0 相内切 , 则 a等于 ()
15、.A.1 B.-1C. 1D.0【答案】 C2. 圆 C1:(x-1) 2+y2=4与圆 C2:(x+1) 2+(y-3) 2=9相交弦所在直线为 l, 则 l 被圆 O:x2+y2=4截得弦 长为 ().A. B.4 C. D.【解析】由圆 C1与圆 C2的方程相减得 l:2x-3y+2=0, 圆心 O(0,0) 到 l 的距离 d=, 圆 O的半 径 R=2, 所以截得弦长为 2=2=.【答案】 D2 2 2 23. 点 P在圆 x2+y2-8x-4y+16=0 上,点 Q在圆 x2+y2+4x+2y-11=0 上, 则|PQ|的最小值 为.【解析】两圆分别化为标准方程为 (x-4) 2+(y-2) 2=4,(x+2) 2+(y+1) 2=16, 可知两个圆相离 , 故|PQ| 的最小值等于圆心距减两个圆的半径,即 3-6.【答案】 3-64. 已知点 A(-1,1)
