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1、培优专题2 勾股定理及应用 勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘” 勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积
2、分析 由斜边长是2，周长是2+，易知两直角边的和是，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握 解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得： 即 式两边同时平方再减去式得： 2ab=2， ab= S=因此，这个三角形的面积为 练习11已知：如图2-1，AD=4，CD=3，ADC=90，AB=13，ACB=90，求图形中阴影部分的面积2-12已知：长方形ABCD，ABCD，ADBC，AB=2，ADDC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，
3、求这个新长方形的对角线的长 3若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ） A1：2：4 B1：3：5 C3：4：7 D5：12：13 例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？ 分析 图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED与四边形CFED全等，则对应边、角相等，AF=FC，且FC=AE，则ABFADE，由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积 解：图形沿EF折叠后A、C重合， 2-2 四边形AFED与CFED关于EF对称， 则四边形AFED四边形CFED AFE=CFE AF=
4、FC，D=D=B=90 AB=CD=AD ADBC， AEF=EFC AEF=AFE 则AE=AF RtABFRtADE 在RtABF中，B=90， AB2+BF2=AF2 设BF=x，b2+x2=（a-x）2， x= 2-3 S=2SABF=2bx=2b= 练习21如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面积为_2如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A时，梯子的底部向外移动多少米？2-4 3如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩
5、形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-5 例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？ 分析 先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形 解：n为正整数， （2n2+2n+1）-（2n2+2n） =2n2+2n+1-2n2-2n=10， （2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n20 2n2+2n+1为三角形中的最大边 又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1， （2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8
6、n3+8n2+4n+1 （2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2这个三角形是直角三角形 练习3 1若ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则ABC是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形2如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由 2-6 3ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m1），那么（ ） AABC是直角三角形，且斜边长为m2+1 BABC是直角三角形，且斜边长为2m CABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定 DABC不是直角三角
7、形 例4 已知：如图2-7所示，ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=65 求证：ABC是直角三角形 分析 欲证ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，从而有BDEADC，这样AC、BC、2CD就作为BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定 证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE 2-7 AD=BD，CD=ED，ADC=BDE ADCBDE（SAS） BE=AC=12 A=DBE ACBE 在BCE中，BC2+BE2=52+122=169 CE2=（2CD）2=（26.5）2=16
8、9 BC2+BE2=CE2 EBC=90 又ACBE， ACB=180-EBC=90 ABC是直角三角形 练习4 1已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断ABC的形状 先阅读下列解题过程： 解：a2c2-b2c2=a4-b4， c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） c2=a2+b2 ABC为直角三角形 问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是_； （2）本题的正确结论是_2如图2-8，ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长3如图2-9，ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC
9、内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数2-9 例5 如图2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长 分析 若作AEBC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是RtADC的直角边 AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程 解：作AEBC于E 2-10 AB=AC，AEBC， BE=EC=BC=32=16 在RtAEC中， AE2=AC2-CE2=202-162=144， AE=12 2-11 设DE=x， 则在RtADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2， 在RtACD中，AD2=CD2
10、-AC2=（16+x）2-202 144+x2=（16+x）2-202 解得x=9BD=BE-DE=16-9=7 练习5 1如图2-12，ABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D求证：AD2=AC2+BD22-122如图2-13，ABAD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积2-13 3如图2-14长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14答案:练习1124（提示：利用勾股定理即可求出）2长方形的对称轴有2条，要分别讨论： （1）以A、B为对称点（如图） S=ABBC，AB=2，
11、BC=AD= 根据对称性得DF=AB=1 由于D=90，据勾股定理得： AF= （2）以A、D为对称点（如图） BF=BC=由B=90，据勾股定理得： AF=3D练习21（提示：利用RtABE的勾股定理即可求出）20.8m 3B练习31B2AFEF（提示：连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC=，EC=，在RtADF中，由勾股定理得： AF2=AD2+DF2=a2+（）2=a2同理：在RtECF中，EF2=（）2+（）2=a2，在RtABE中，BE=a，则AE2=a2+a2=a2 a2+a2=a2， AF2+EF2=AE2 AFE=90 AFEF3A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）练习41（1）、 （2）ABC为直角三角形或等腰三角形2AC2+BC2=52+122=132=AB2， C=90 将ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图） CD=DE， AC=AE=5 则ACDAED 又BE=AB-AE=8 设CD为x，则x2+82=（12-x）2 解之得x= AD2=52+（）2 AD=3过点C作CECP，并截CE=CP=2，连结PE，BE（如图） ACB=PCE=90， ACB-PCB=PCE-PCB 即ACP=BCE PCAECB（SAS） BE=AP=3 在RtPCE中， PE2=PC2+CE2=8 又BP2=1，BE2=9， BE2=BP2+PE2
