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1、【例1】 设等比数列的首项为(）,公比为q(q0),前n项和为8,其中最大的一项为54，又它的前2项和为656，求a和q解 由n80,S2n=650，故q1a0，q，等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an.an=n-154 将代入化简得a=q-1 由，联立方程组解得=2,q=3证 Sna1+1q+a1q2+a1qn1S2n=S(1na1qn1+aq2-1)=Sn+q（a1+a1q+1qn1)=Sn+qS=S（+qn)类似地,可得Sn=Sn(1qnq2n)阐明 本题直接运用前n项和公式去解，也很容易.上边的解法,灵活地解决了2n、S3n与n的关系简介它的用旨在于让读者体会运用结合律、提取公因
2、式等措施将某些解析式变形常常是解决数学问题的核心，并且变得好,则解法巧.【例3】 一种有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数，其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数分析 设等比数列为n，公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1,a1q解 设项数为2n（N*)，由于a=,由已知可得q1.即公比为2,项数为8阐明 运用等比数列前项和公式进行运算、推理时，对公比要分状况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程（组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的措施达到降次的目的.【例4】 选择题：在等比数列an中，已知对任意正整数n，有S=2 解 D
3、=1，nSSn-12-1n=2-n=（an)2=(2n-1)2=22n-24n-1【例5】设0V1，为正整数，求证：(2+1)V(1V)V2m+1分析 直接作，不好下手变形:右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式,于是有:(m+1)V+V+V2+2m发现左边有（2+1)个Vm，右边有(m+1)项,变形:VmVmVm1+V2+2m显然不能左右各取一项比较其大小,试用“二对二”法,即左边选两项与右边的两项相比较鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，想到以如下方式比较：m+VmV2m，mVV-1，,m+mVm-1m+1,Vm=V.即2Vm1+2m，2V+V2m-，根
4、据“两个正数的算术平均值不小于等于其几何平均值”,这些式子显然成立.(具体证法从略）阐明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”:C,，等等善于进行逆向思考，是对知识纯熟掌握的一种体现,同步也是一种重要的思维能力,平时应注意训练.【例】 数列an是等比数列,其中Sn=48，S260，求Sn.解法一 运用等比数列的前n项和公式若q=1，则Sn=n1，即n1，2a60，因此=n(1qnq2n)解法二 运用等比数列的性质:S,S2n-S，S32仍成等比数列 （-8）2=48(Sn6) 3n=3.解法三 取特殊值法取n1，则S1a1=48，S2=S21+a2=60 a2=12 an为等比数
5、列SS3=a1+a2+a=3【例】 已知数列an中,n是它的前项和，并且Sn+1=4n(nN*)，a11（1）设na1an（nN*)，求证:数列bn是等比数列;解 （) Sn+1an2n+=n12两式相减,得S+2Sn+1=4n+=n（nN*）即:an+2=4an+14n变形，得a+-2+=2(n+1-2an) nan+12an（N) n+2b由此可知,数列bn是公比为2的等比数列由S2=a1a2=412,a=可得a2=5,b1=a2-213 bn=3n-1将bn=n1代入，得/PGN011B.TXTPG阐明 运用题设的已知条件，通过合理的转换,将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决
