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1、第六章 平面向量知识框架】向量及基本概念n向量的表示几何意义向量的加法运算律向量的减法n几何意义向量的线性运算q运算律平面向量数乘向量q向量共线的条件向量线性运算的坐标表示向量数量积的坐标表示物理背景与集合意义 向量的数量积q运算律性质向量在几何中的应用n平面几何和解析几何 向量在物理中的应用n位移、力学等61向量的基本概念及基本运算【知识要点】知识点一：向量的有关概念及表示方法1 向量的基本概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模（ 2 ）特定大小或关系的向量 零向量：模为0的向量，记作贰其方向是任意的 单位向量：模为1个单位长度的向量 共线向量（平行向量）：方向
2、相同或相反的非零向量。规定：零向量与任何向 量共线 相等向量：模长相等且方向相同的向量 相反向量：模长相等但方向相反的向量。规定：零向量的相反向量是它本身2. 向量的表示法 字母表示法：如小写字母a , b , c等，或ab , CD等 几何表示法：用一条有向线段表示 代数表示法：即向量的坐标表示法知识点二向量的运算1. 向量的加法、减法（1）法则：平行四边形法则、三角形法则（2）运算律：交换律、结合律3）几何意义：aba2. 向量的数乘（实数与向量的积）1）定义与法则：（X 0）2）运算律：交换律、结合律、分配律知识点三：定理与公式*A1.共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只
3、有一个实数九，使得b二九a2平面向量基本定理：如果e ,e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 1 2t平面内的任一向量a，有且只有一对实数九,九，使a =九e +X e1 2 1 1 2 23. 三点共线定理:平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数a,卩，使得OA = aOB +卩OC，其中a +卩二1，0为平面上任意一点平面内有任意三点0、A、B，若M是线段AB的中点，则OM二丄OA + OB）2F-P*AABC中，M为BC边的中点，G为重心，贝U AB + BC + CA = O ,kirGA + GB + GC 二 O向量加法的多边形法贝 【自主学习】1.以下命题中，正确
4、命题的序号是（1）若 a = b，则 a 二 b2）3)若a, b都是单位向量贝Ua = bF *=f若 a = o, b = o,贝Ua = b(4) 若 a = b且 a / b,则 a = b(5) 若四边形ABCD是平行四边形，则AB = DC, BC = dA2.已知直线x + y = a与圆x2 + y2 = 4交于AB两点，且OA + OB = OA - OB。其中O为坐标原点，则实数a的值为2或-23.4.-* f已知向量a, b满足a=3, a + b = a b = 5，贝U b =I J已矢口 AB = a + 5b, BC = 2a + 8b, CD = 3 a b丿，
5、贝U(4)AA.点A、B、D共线B.点A、B、C共线C.点B、C、D共线D.点A、C、D共线【题型解析】题型一向量的相关概念* -*-ta- 例1对于非零向量a , b，“a + b = o”是“a /b ”的（）AA.充分非必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要 解析：当a + b = o时,a = b有a / b当a / b时，不一定有a = b方法点评：掌握充分、必要条件的判断；共线向量的定义知识突破：如图，四边形ABCD，其中AB = DC，则相等向量是（）DA. AD与CBC. AC与DBB. OA与OCD. DO与OBAB题型二向量的运算例2.如图所示，D、已是厶ABC
6、中AB, AC边的中点,M、N分别是DE, BC的中点。已知BC二a , BD二b ,1 亠 试用a , b分别表示DE, CE和MN。1H 1 -解析:由三角形中位线定理知DE生BC，故de二2BC，即1 1 1 DE = 2 a，CE 二 CB * BD * DE 一a * b * 2 a 一 2 a * b1 1 11 f1 iMN 二 MD * DB * BN = DE - BD *- BC =-a - b * a 二 a - b2 2424方法点评:用已知向量来表示另外一些向量，要综合利用向量的加减的三角形法则、多边形法则、数乘向量，还要充分利用平面几何的一些定理知识突破:如图所示，
7、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且1 - 1 . 1 所以 MA = - AC = - a - b2 2 21 1 （） MB = DB = a b =2 2MA = - AC =丄 a * 丄b2 2 211 - 1 -MD 二-MB 二一DB 二一a + b222题型三共线向量例3.设a, b是两个不共线的非零向量2)(1)若OA = 2a -b,OB = 3a + b,OC = a -3b，求证：A, B, C 三点共线;若8a + kb和ka + 2b共线，求实数k的值。1 卜 1 卜I* M h ! 9 M F b 9 shBC = OC - OB = a - 3b解析：(
8、1)因为 AB = OB-OA = 3a + b- 2a-b厶 a + 2b+ b I -2a 一 4b = -2 ABa + 2b2所以AB, BC共线;(2)因为8a + kb和ka + 2b共线，所以存在实数九，使8a + kb = X即(8- Xk 站 +(k - 2 必=0。8 Xk = 0因为a与b不共线，所以.2X o，解得X = 2，所以k = 2X = 4方法点评：从正反两方面考查向量共线的充要条件；三点共线问题可利用共线向量 的充要条件知识突破:解析:已矢口 a , b 为两个非零向量，OA = a + b,OB = a + 2b,OC = a + 3b。试问： A、B、C
9、 三点是否共线，为什么？上-*9It*,1若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：AB + DC = BC + DA ；AC + BD = BC + AD :AC BD = DC + AB .其中正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析:式的等价式是AB - BC = DA - CD,左边=AB + CB ,右边=DA + DC , 不一定相等； 式的等价式是AC - BC = AD - BD , AC + CB = AD + DB = AB成立;f答案：C 式的等价式是- DC= AB+ BD， AD = AD 成立2如图所示，D是ABC的边AB的中点，则向量CD =
10、(A. BC +2 BAB BC 2 BAC. BC 2BAd. BC +2BA解析：CD = CB + BD = - BC +1 BA.答案： A ABBC1 1a3b2解析： OA -4OB +3OC =0,(OA - OB)-3OB +3OC =0,即OA - OB =abC2D3A-3(OB - OC)，BA =3CB BC答案： D3已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若OA 4OB +3OC =0,则4.非零不共线向量OA、OB，且2OP =xOA +yOB，若PA =2 AB (2GR),则点Q(x, y)的轨迹方程是()A. x+ y 2= 0B. 2x+ y 1= 0C.
11、x+2y2=0D. 2x+y2=0解析：PA =2AB，得OA - OP =2(OB - OA),即OP =(1+2) OA -2OB.又 2OP =xOA +yOB ,答案： AX = 2 + 22, 消去2得x+y = 2y=-2i5在平行四边形ABCD 中, AC与BD交于点O, E是线段OD的中点，AE的延长线与CD 交于点F若AC =a， BD =b，则AF =()A4a+2bB(a+1bC.2a+!bD+3b解析：如图所示，由 DEFABEA知AF = AC + CF =a + 2 CD答案：B=a + 3(b - a) = 3a +()6在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知A(
12、3,1), B(1, 3),若点C满足ICA + CBI =1CA - CBI,则C点的轨迹方程是A.兀+勾一5=0B. 2x-y=0C(x-1)2(y-2)2=5D3x-2y-11=0. . . 7. (2009安徽高考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点.若AC =2AE + “AF，其中，2, “GR，贝U2+“=解析：如图，:ABCD为，且E、F分别为CD、BC中点.AC = AD + AB = ( AE - DE )+ ( AF - BF )=(AE + AF )-2(DC + BC) =(AE + AF )-2AC ,2A AC =3( AE + AF ),：解
13、析：由|CA + CB | = |CA - CB |知CA丄CB ,所以C点的轨迹是以A、B为直径的 两个端点的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于AAA 2 MN = MD + DA + AN + MC + CB + BN = DA + CB = - AD + CB = -b-(-a + b + c) = a- 2b-c，MN = - b - 2c.DN+ CN = DM+ MN+ CM+ MN=2MN=a-2b-c.9.如图，ABC中，在AC上取一点N,使得AN=|AC,在AB上取一点M,使得AM=3aB,在BN的延长线上取1. A点P,使得NP=2BN,在CM的延长线上取点Q,使得MQ =2CM , AP = QA f试确定2
