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1、 1 1第5讲 椭圆1(20xx洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(，0)，直线yx与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为()A.y21Bx21C.1 D.1解析：选C.依题意，设椭圆方程为1(ab0)，则有，由此解得a220，b25，因此所求的椭圆方程是1.2(20xx淮南模拟)椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析：选C.若a29，b24k，则c，由，即，解得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.3矩形ABCD中，|AB|4，|BC|3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为()A2 B2C4 D4解析：选D.依题意得|
2、AC|5，所以椭圆的焦距为2c|AB|4，长轴长2a|AC|BC|8，所以短轴长为2b224.4(20xx烟台质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.设椭圆的标准方程为1(ab0)由点P(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26.5(20xx江西省九校模拟)已知椭圆1(ab0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AFBF，设AB
3、F，且，则该椭圆离心率e的取值范围为()A. B.C. D.解析：选A.设椭圆的左焦点为F，连接AF，BF，结合题目条件可得四边形AFBF为矩形，则有|AB|FF|2c，结合椭圆定义有|AF|BF|2a，而|AF|2csin ，|BF|2ccos ，则有2csin 2ccos 2a，则e，而，则，那么sin，故e.6(20xx唐山质检)已知动点P(x，y)在椭圆C：1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|1，且0，则|的最小值为()A. B3C. D1解析：选A.由题意得F(3，0)，|PM|2|PF|2|MF|2(ac)21(53)213.所以|min.7若椭圆1(ab0)与曲线x2y2a2b
4、2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是_解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故bc，所以b2c2，即a22c2，所以.又1，所以eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：已知F1(c，0)，F2(c，0)，直线y(xc)过点F1，且斜率为，所以倾斜角MF1F260.因为MF2F1MF1F230，所以F1MF290，所以|MF1|c，|MF2|c.由椭圆定义知|MF1|MF2|cc2a，所以离心率e1.答案：19已知P为椭圆1上的一点，F1，F2为两焦点，M，N分别为圆(x3)2
5、y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为_解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.答案：710(20xx石家庄一模) 已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过点F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为点R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为_解析：延长F1R交F2P的延长线于点R，则|F1R|RR|，|F1P|PR|，所以|RF2|RP|PF2|F1P|PF2|2a.因为R，O分别是F1R，F1F2的中
6、点，所以|OR|a.同理可得|OS|a.因此R，S的轨迹是以原点O为圆心，以a为半径的圆，其方程为x2y2a2，故R，S所形成的图形的面积为a2.答案：a211分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1或t2(t1，t20)，因为椭圆过点(2，)，所以t12，或t2.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，所
7、以b212.故椭圆方程为1或1.1(20xx济南模拟)在椭圆1内，通过点M(1，1)且被这点平分的弦所在的直线方程为()A9x16y70 B16x9y250C9x16y250 D16x9y70解析：选C.设过点M(1，1)的直线l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则两式相减可得，0，即kl，故所求的直线l的方程为y1(x1)，即9x16y250.2已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解：(1)由已知得c2，e.解得a2.又b2a2c24，
8、所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由，得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m.因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB，所以PE的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3，2)到直线l：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.3(20xx高考陕西卷)已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2
9、)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2，1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB| |x1x2| .由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.法二：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故椭圆E的方程为1.
