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1、第四章 动量和动量守恒一. 动量和冲量1. 动量 P=mv 动量是描述物体运动状态的一个I犬态量，它与时刻相对应。 动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。2. 冲量 I=Ft 冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。 冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。 如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相 同。 高中阶段只要求用 I=Ft 计算恒力的冲量，对于变力，只要求会求力在时间t内的平均值。例 1.小球由高为 H 的光滑斜面顶端无初速滑到底端 过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？分析：力的作用时间为t2H =丄国，力g sin
2、 2 a sin a g的大小依次为mg、mgcosa和mgsina。所以它们的冲量依次为:v2 gH2 gHsin atan a2 gH*冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。二、动量定理1. 动量定理：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化。既I=A P。*动量定理表明冲量是物体发生动量变化的原因，并且冲量是物体动量 变化的量度。*动量定理给出了冲量和动量变化间的互求关系。*实际上现代物理学把力定义为物体动量的变化率：F単。A T *动量定理表达式是矢量式，在一维的情况下，各个矢量必须以同一个 规定的方向为正。例2.以初速度v0平抛一个质量为m的物体，t秒内物体的动量变化是
3、 多少？分析：用冲量好求。 P=Ft二mgt。*I和厶P可以互求，当力为恒力时往往用Ft来求；当力为变力是，只 能用 P来求。2. 定性讨论。要求会用动量定理解释一些现象。例 3. 鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二 次落在塑料垫上，没有被打破。为什么？分析：两次碰撞过程鸡蛋的动量变化是相同的。第一次与地板的接触时 间短，作用力大，鸡蛋被打破。第二次与塑料垫的接触时间长，作用力 小，鸡蛋没有被打破。例 4.从木块下抽纸。第一次迅速抽出木块几乎不 动；第二次较慢地抽出，木块反而被拉动。为什么？ 分析：第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说 大于第二次受到的静摩擦力。但第一
4、次力的作用时 间极短，冲量反而小，木块没有明显的动量变化。第二次力的作用时间 长，冲量反而大，木块会有明显的动量变化。3. 定量计算。 作题步骤必须明确： 明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是质点 组。研究对象以外的物体施给研究对象的所有力之和为合力。研究对象 内部的相互作用力不影响系统的总动量。研究过程的各个阶段物体的受 力情况可能不同，要分别计算它们的冲量，并求它们的矢量和。 进行受力分析。 规定正方向。 写出各力的冲量和研究对象的初、末动量。 根据动量定理列式求解。例5.质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经t到达1沙坑表面，又经t停在沙坑里。求沙对小球的平均阻2力F
5、；小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。分析：取全过程求解最方便。mg (t+t)-Ft =0，得:1 2 2mgt2总冲量包括重力冲量在内，mgtT=0,.I二mgt。 *认真审题，灵活选取研究对象。*若题目给出小球自由下落的高度，可把高度转换成时间。例 6. 质量为 M 的 汽车带着质量为 m 的拖车在平直 公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v时发生脱钩，直到拖车停下0瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为M，那么拖车刚停下时汽车的即时速度是多大？分析：以汽车和拖车系统为研究对象，由已知，该过程系统受的合外力为(M + m )a，该过程经历时间为V/p g，对系统用
6、动量定理可得：(M)a -0=Mv(M(M*表达形式：例7.质量为M=2kg的均匀直杆AB长为L，B端用竖直绳悬吊。质量为 m=1kg 的小球由高 h=0.45m1处自由下落，打在杆上的C点后反跳的最大高度为 h=0.2m, AC间距离为2L，从小球下落到反跳到最高点经历的时间为X23 Lt=0.6s,取g=10m/s2,求：小球碰杆时绳对杆的平均拉力的大小。分析：先以小球为研究对象，全过程动量变化为0，下落、上升分别用 t =0.3s和t =0.2s,与杆作用时间为t =O.ls,由 人t _ Ft = 0得：1233F=60N。再以杆为研究对象，A为轴，由力矩平衡可得拉力F=50N。0三、
7、动量守恒定律1. 动量守恒定律：一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的 总动量保持不变。即：m v + mv = m v，+ m v *研究对象为系统，至少包1 1括两2 个2 物1体1 。 2 2*动量守恒的条件： 系统不受外力或者受外力之和为零； 系统受外力，但外力远小于内力； 系统在某一个方向上所受的合外力为零，则这个方向上动量守恒。*全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。mA vp + p = p + p , A p + A p = 0, A p =A p , 十=-22121212 mAv*从现代物理学的理论高度来认识，动量守恒定律是物理学中最基本的 普适
8、原理之一。从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发现动量 守恒定律有任何例外。相反，每当在实验中观察到似乎是违反动量守恒 定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最后总是以有新 的发现而胜利告终。如静止的原子核发生衰变放出电子时，按动量守 恒，反冲核应该沿电子的反方向运动。但云室照片显示，两者径迹不在 一条直线上。为解释这一反常现象， 1930年泡利提出了中微子假说。由 于中微子既不带电又几乎无质量，在实验中极难测量，直到1956 年人 们才首次证明了中微子的存在。（2000 年高考综合题23（2）就是根据 这一历史事实设计的）。又如人们发现，两个运动着的带电粒子在电磁 相互作用下动
9、量似乎也是不守恒的。这时物理学家把动量的概念推广到 了电磁场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了。看一下碰 撞的全过程：设 光滑水平面上， 质量为 m 的物12. 碰撞中的动量守恒。两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况 称为碰撞。由于作用时间极短，内力远大于外力，可以认为动量守恒。 碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。体A以速度v向质量为m的静止物体B运动，B的左端连有轻弹簧。在12I位置A、B刚好接触，弹簧开始被压缩，A开始减速，B开始加速；到II位置A、B速度刚好相等（设为v）,弹簧被压缩到最短；再往后A、B 开始远离，弹簧恢复原长，到III位置A、B分开，这时
10、A、B的速度分别 为v，和v，。全过程系统动量一定是守恒的；而机械能是否守恒就要看弹 簧的1 弹2性如何了。弹簧是完全弹性的。III系统动能减少全部转化为弹性势能，11状 态系统动能最小而弹性势能最大；II-III弹性势能减少全部转化为动 能；因此I、III状态系统动能相等。这种碰撞叫弹性碰撞。可以证明A、B 的最终速度分别为：122mLm + m1 2 1 2弹簧不是完全弹性的。III系统动能减少一部分转化为弹性势能，部分转化为内能，11状态系统动能仍和相同，弹性势能仍最大，但比小；II-III弹性势能减少，部分转化为动能，部分转化为内能；因此全过程系统动能有损失。这种碰撞叫非弹性碰撞。弹簧
11、完全没有弹性。III系统动能减少全部转化为内能，11状态系 统动能仍和相同，但没有弹性势能；由于没有弹性，A、B不再分开， 而是共同运动，不再有II-III过程。这种碰撞叫完全非弹性碰撞。可以 证明，A、B最终的共同速度为v，= v12例 1.质量为 M 的楔型物块上有圆弧轨道，静止 在水平面上。质量为m的小球以速度v向物块运1度H和物块的最终速度V。动。不计一切摩擦。求：小球能上升到的最大高 分析：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。和上面分析的弹 性碰撞情况的唯一不同在于重力势能代替了弹性势能。小球上升过程，由水平动量守恒得：mv =(M + m人，1 由机械能守恒得：丄mv 2=丄
12、(M + m )v2 + mgH212解得Mv 22 (M + m )g系统全过程水平动量守恒，机械能守恒，鶴=2m v。M +m 1例2.动量分别为5kgm/s和6kgm/s的小球A、B沿光滑平面的同一条直 线同向运动，A追上B并发生碰撞后A的动量可能范围是什么？若 碰撞后A的动量减少了 2kgm/s,那么A、B质量之比的可能范围是什么？ 分析:若A、B速度非常接近，则碰后A的动量基本不变,略小于5kgm/s。 若 A 的质量非常小，则碰后几乎被原速弹回，动量大小基本不变，略小 于5kgm/s,所以碰后A的动量的可能范围是：5kgm /s P 2 ；碰后A的速度不大于B的A B/mmAB速度
13、，丄5旦;又因为碰撞过程系统动能不会增加，mmAB旦+旦 丄+Q，由以上不等式组解得：3 5 4。2 m2 m2m2 m8 m 7*此类碰撞问题要考虑三个因素：碰前速度大小关系；碰后顺序合理； 碰中动能不增。3. 子弹打木块问题。这也是一种碰撞。例3.设质量为m的子弹以初速度v射向静止在光滑水平面上的质量为M0的木块，钻入木块深d后留在木块中。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程木块前进的距离s。分析：系统动量守恒，阳 = (M + m)v子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞，系统 损失的动能全部转化为内能。对子弹用动能定理：F (s + d )= 1 mv 2 1 mvf 2 0 2
14、对木块用动能定理：f s = 1 Mv 2f2两式相减得：1F d = mv 2f 2 0-1 (MMm2 (M + m )v2,.F0Mmv 22 (M + m )d*其物理意义是系统动能损失，应该等于系统内能的增加。可见摩擦生 热等于摩擦力与两物体相对滑动的路程的积：f d = Q至于S,可以由以上方程组得出，也可以利用平均速度求:s+d+v)/00v/2*一般情况下m m，s d，在子弹射入木块过程中，木块的位移可以忽略不计。这为分阶段处理问题提供了依据。*子弹速度很大时，可能射穿木块，这时系统动量仍然守恒，系统动能 损失仍然等于 F d(d 为木块的厚度)。f*光滑水平面上物块滑上木版
15、或将物块无初速放上 滑动着的木版，最后共同运动的问题，和子弹打木 块是同种类型的问题，处理方法完全一样。*这类题目关键是要画好示意图。*对运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型Mm全过程动能损失可背公式：=V2k 2（M + m ） 04. 反冲问题。原来系统内物体有相同速度，发生相互作用后速度不同而 分开。这类问题相互作用后系统动能增大，有其他能向动能转化。 例4质量为m的人站在质量为M，长为L的静 止小船的右端。小船的左端靠在岸边。当他向 左走到船的左端时，船左端离岸多远？ 分析：人船系统动量守恒，总动量始终为零， 所以人、船动量大小始终相等。从图中可以看 出，人、船的位移大小之和等于L。设人、船
