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1、 1 一、题之源：课本基础知识1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1(nQ*)f(x)sin xf
2、(x)cos xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积5.函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数6函数的极值函
3、数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值7函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b
4、)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值二、题之本：思想方法技巧1弄清“函数在一点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x0处的导数f(x0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f(x)；(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函
5、数值2求函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数f(x)，再将x0(x0(a，b)代入导函数f(x)，得f(x0)3正确区分“曲线在某点处的切线”与“过某点的曲线的切线”的含义，前者的“某点”即切点，后者的“某点”是否为切点则须检验4求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程如果切点未知，要先求出切点坐标5.注意曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别6导数运算的技巧(1
6、)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导7用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点8理清导
7、数与函数单调性的关系(1)f(x)0(或0(或f(b)的形式(2)对形如f(x)g(x)的不等式，构造函数F(x)f(x)g(x)(3)对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)16.利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现三、题之变：课本典例改编1.原题（选修1-1第80页习题1.1B组第一题）改编 在高台跳水中，t s时运动员相对
8、水面的高度(单位：m）是则t=2 s时的速度是_.【答案】.2.原题（选修1-1第96页练习第2题）改编 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（ ）A. B. C. D. 【答案】B.【解析】函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B.3.原题（选修1-1第99页习题1.3B组第1题改编1 设，记 试比较a,b,c的大小关系为（ ）A B C D 【答案】A.【解析】1.先证明不等式 (x0);设, 因为所以，当时，单调递增，；当时单调递减，；当x=1时，显然，因此;2.设, 当 ,即;综上：有，x0成立; , , ,故选A.改编2 证明：，【解析】（1）构造函数，当，得下表+0单调递增极大值单调递减总有另解，当，当，单调递增，当，单调递减， 当 综合得：当时，5.原题（选修1-1第104页习题1.4A组第1题）改编 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
