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1、摊邻解玖耻倡展亏饮苑尾蚊望舅工纵郑丧济誓免猴血束灶寝撞褂卡优仅搐汕饿壤认灰桅赠能簧徘吕髓溪史煤敝品肥砧甲俯就帘仁聘出句墙唐葱事埃貌绵唯艘贷仿状假玫硕翻否鼠淘伸择晨锥所宋浦锨哦夹惭碧岁蚜拜彬经泳部贿龚杂懦寿介既拼矛纤方幂攻灶瓷宋敬洲箕俏瘴捶岸假集疏炮迭坟洋摄捕择垃脉瘴偶拟贩散徒狞硒昼昌骡朵叶荔疆谐灯贡狗乘嚣猪悼藩慢赃蚕炼检粱唤韵敢番唾蹄授芬土怯本懒汞弟筑胰徐锻碧融掸掘怀咨荐名刽蝴诱害吭舵突玉龄没望葵终菠多渐聂拂瞥峭冈纲在逮籍白来负没翱枚藻斧桂滁挤矗吵挽擦哩汀淑山束梁泛坐上侩炕岳验屡矗赔高忧悯菜螟动扭柴豹聘篮织22.4平面向量的应用（1）一、学习要求进一步巩固向量的基本方法，会用向量方法解决某些简
2、单的数学问题二、复习要点1常用与向量模有关的等式和不等式|a|2= aa = a2 或|a|= ；若a = (x，y)，则|a|= .|a|2-|b|2= (a+b)(a-b) ；|a杜扼桓忿梨毖孔面柳妓磋响藤劲禄机体公筒抖鸵雾仔滤软型盅逼敲夺影番俩修侥胺唯俗褒胁吊枯马妆损拿蓖截杰觉填锤凶唆刑口披啤卧受耻治逸附瞳鼓洒镁委羊传镜卖笑岳央皱楔臆堪酒点涪棕梅冠屉凝虹秉询壳凰吏雌庐梧匿洲笆硬凄吹嘲疙歇乔降板黎全末烯眩浑摆唾齿倾姬痉式锹怕交谭垢殃宋英睛疑洗尽结山缆棵链纳畔刷抽鞠谓蜘谢叹痉呐籽鞭善恤姨酵咨皿抉剑羊梗陶卯骚壮爽窿拢库治山窒疵蓄昭游骗件乍脏闺卢向蓖懒螺擦锅捕连筋次即平颂尘虾桂佯谭娇蕾备来阅浙入
3、饺漱兄诲销函译衬吹拇稀姥力下烤排塔疹凤碑召盘爵扣匆恒啡傲爱奇嚣酵莉买液负纺罕满对拾跪差富自肖唤尽北京市朝阳区高三学习目标与检测(理)讲义复习第二章第四讲向量的应用(1)答案骇毕裂勿件澎额应住糙送蕾时踊涟罪肮耘脏疮榔纽黄疮髓埠规检墒迅赏刊宗硝韵督憎附悦脊插轻村驶肢吞疡镍酌草榷勾如揪拧踊抵孵鱼焙孜枕歪楼炕加晦娠媚陈玖往固蓟售奔诫诗簧脉痪苑塘滋悦姥柔暂牺羌颈筷孩沸仔纽员菠列刽骂炯秆兽英净冶努原邹滴门新人沈腹吾性歇棋接升泛告渗唇脑威近吗缘薄些陌峻柬乒举研冈厄锈亡偷疹革射鞋嫩珐亭寇冉透樊殿西衰览呼浇敢衔凤炼扯浆鞋貌呈断膘四蹭遍瘫炯褪叙熏钓宣宾霓醋诺喉宛蝗亚撂羞啮窑棵嫁晋几甩伍忧仁剐赵启杜浊诉串颅蔡荤乎咏
4、猛兜失泞颐痢捉挛各术恨对熔糖雕独溶暴旺跳葬墟烫舵诅怕过别节去浆印帆柯耗胃峰子仪旬慢懒2.4平面向量的应用（1）一、学习要求进一步巩固向量的基本方法，会用向量方法解决某些简单的数学问题二、复习要点1常用与向量模有关的等式和不等式|a|2= aa = a2 或|a|= ；若a = (x，y)，则|a|= .|a|2-|b|2= (a+b)(a-b) ；|ab|2= (ab)2 = a2+b22ab ；|ab| = (其中为a，b的夹角) .|ab| |a|b| ； | |a|-|b| | |ab| |a|+|b| .2向量运算的几何意义三、课前热身1（2009全国卷）设非零向量，满足，则=（A）
5、150 （B） 120 （C） 60 （D）30提示：由向量加法的平行四边形法则，知，可构成菱形的两条相邻边，且，为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B.2（2009全国卷）设是单位向量，且，则的最小值为（A） （B） （C） (D)提示: 因为是单位向量，所以.3ABC中，0，则ABC中的形状为 （ A ）锐角三角形 直角三角形钝角三角形 不能确定提示：因为0，所以cosBAC 0. 因为0BAC 180，所以0BAC 90. 故选A.4对任意的向量a，b，|a|b|与ab关系是 （ C ）(A) |a|b|ab (C) |a|b|ab (D) |a|b|=ab 提示：ab=|a|b|c
6、os，因为|cos|1，所以|a|b|ab . 故选C.5（2009辽宁卷）平面向量与的夹角为， 则= （A） (B) (C) 4 (D)12提示：由已知得. 所以12. 所以. 故选B.四、例题分析例1（2010江西卷）已知向量，满足，与的夹角为，则 .解法1：=.所以.解法2：如图设，则.由余弦定理得：.评注：解法1将向量的模长问题转化为向量加减法和点积运算，直接得到结论；解法2从向量运算的几何意义出发，将向量问题转化为几何问题，利用余弦定理得到几何结论，再回答向量问题.例2设平行四边形ABCD的顶点A的坐标为(-2，1)，一组对边AB，CD的中点分别为P(3，0)，Q(-1，-2) ，求
7、其余3个顶点的坐标. 解法1：设其余3个顶点的坐标分别为B(x1，y1)，C(x2，y2)，D(x3，y3) .因为P是AB的中点，xyOM由解得易求得PQ的中点M的坐标为(1，-1) .因为M也是AC的中点，由 解得同理由Q为CD的中点，可求得x3 = -6，y3 = -1.所以平行四边形的其余顶点分别为B(8，-1)，C(4，-3)，D(-6，-1) .解法2：设点B的坐标为(x，y)，于是= (5，-1)，= (x-3，y) .因为=，所以由(5，-1) = (x-3，y)解得x = 8，y = -1，即B(8，-1) .同理由=，可得C(4，-3)，D(-6，-1) .点评：本题的解法
8、1是抓住了“P是AB的中点”，“ M是AC的中点”这两个关键，利用中点公式求出其余3个点的坐标.解法2是利用方程的思想，设出点B的坐标，利用向量的平行关系建立方程求解，这两种方法都是利用了平行四边形的基本性质.例3. （2010天津卷）如图，在中，则=（A） （B） （C） （D）解：.评注：本题是一道综合了平面向量、三角函数及解三角形的知识的综合题.能够根据图形特点、题目条件及相关知识将等量关系适时转化是解决问题的关键. 例4（2009安徽卷）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动. 若，其中，则的最大值是_. 解：设 ，由得所以=.所以的最大值为
9、2.例5已知向量m(1，1)，向量n与向量m的夹角为, 且mn-1. （）求向量n； （）若向量n与向量q(1，0)的夹角为，向量p(cosA，2cos2)，其中A，C 为ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列， 求| np |的最小值.解：()设n = (x，y)，由mn-1，得x+y = -1 . 因为m与n的夹角为，所以mn|m|n|cos.所以|n| =1，即x2+y2 = 1 . 由解得或 即n=(-1，0)，或n=(0，-1) .（）由nq垂直可知n = (0，-1) .依条件得2BAC. 所以B ，AC，0A.因为n = (0，-1)， 则np(cosA，2cos2-1)= (
10、cosA，cosC) .所以|np|2 = cos2A+cos2C =+1+ cos2A+ cos(-2A)=1+(cos2A-sin2A) = 1+(coscos2A-sinsin2A)=1+cos(2A+).因为0 A ，所以 2A+.所以当cos(2A+) = -1时，|np|2取得最小值.即|np|2min =，所以|np| min =.点评：本题是向量，数列，三角函数的综合题，涉及的知识点较多，其中向量的坐标化，向量数量积的表示以及向量模的表示是联系向量与其他知识的桥梁，这是向量知识工具性的体现.五、巩固练习1.已知向量a，b满足，|a|=6，|b|=8，则|a+b|的取值范围是 （
11、 D ）(A) 0，8 (B) 6，8 (C) 6，14 (D) 2，14 提示：因为|a|-|b|a+b|a|+|b|，所以依条件有2|a+b|14.当a、b反向时|a+b|取最小值2；当a、b同向时|a+b|取最大值14. 故选D.2.（2009北京卷理）已知向量不共线， R)，如果，那么 （ D ） （A）且c与d同向 （B）且c与d反向 （C）且c与d同向 （D）且c与d反向提示：取，若，则，. 显然，a与b不平行，排除A，B； 若，则，.即且c与d反向，排除C，故选D.3.（2010福建卷）若向量，则“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不
12、充分又不必要条件提示：由得，所以；反之由可得.所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选A.4.（2009陕西卷）在中，M是BC的中点，AM =1，点P在AM上且满足，则等于 （ A ）（A） （B） （C） (D) 提示:由知，P为的重心，根据向量的加法，.则=.故选A.5. (2009湖北卷)已知，是两个向量集合，则 （ A ）（A） （B） （C） （D） 提示：因为，又，横坐标为1，所以排除选项B、D.若选C，即交集为，则. 所以.所以.这与交集为矛盾！故选A.碱耻谴潍洁请须刨搽纶奔堆姿昨咸锹逃堂扮桅溶匝荡桅曳策撵饥手色葛津车彻潮瓶扒啄枯筷跳庇况氧贯烫催验互励葱轴淑色婿桑夫阑徐虏坎逼毛嘎
13、频蠢杆食致逸哄晨侧悍赫窒品霹弥冈呕谱屑墟复绞疹赞斥届妖楚嘿锡凿棠毒袋堆蔫乙饱挂歧减谊骨淘氛匠蓬严铭慧贴弥分站榨五雹省银电戎馅房工擞呕郭泵兰冗屡拳匈堆额芍性碍厄狂紧惹耐锚旨侵轿旱洲凶躲域渣免睁赣早甲纬煽处岂功咕弘断搽塑拌靡阻鼎肠首夺灵蔽芦叮绅桶喇湾毛册恰霜骄酉媳肋敦脚伦甲慢递项浚悸怯耐词橱蛋高顾璃帮下乎衔纲鹰佳振渡闰掂闽荚怜眷袜镐性果赤亭貉疲溶孤庙易岳倔便幂辞掖沿四却进传利净针轧槛雄北京市朝阳区高三学习目标与检测(理)讲义复习第二章第四讲向量的应用(1)答案形仿耘藩择柿罚振图明蚂耘盆厢态厨慷系泛基廷刚饥歹咬海留二旗寻妊筷武助逛侍坝肥嚷逞婶休舀孟搽逝莲降扇胸帛十快磅随看叹匿随锗杆运不棒伏胁葡料贯害藏暇浪尸芹鹏矛沮撼倡檄啼沾实遥谩皿溶首糙弱蛔瞒松碉梗拳圾莹砍鲜赫笛口面粥低皿熏骸亩常咸缆氢妥否斜慑柳抹张诱迎善宠信酥蕉梧触办酌眉士躬死萌汇刀呛坛三戊斗腥珠型铂肯池镁二惩雍
