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1、北京科技大学研究生2012-2013学年第一学期计算方法考试试题解答一、填空题(每空题2分，共20分)1. 具有4位有效数字，则的绝对误差限大致为.解：绝对误差限2. 设是一个的矩阵，是一个的矩阵，是一个的矩阵，是一个的矩阵, 根据矩阵乘法结合率，可按如下公式计算（1） （2），则公式（2）效率更高，其计算量为480flops。解：计算乘法次数（1）（flops）（2）（flops）3. 已知向量，存在household矩阵H使得, 则H=解：首先找二阶矩阵使得，令，取，则满足要求。再令，就有4. 设, 则，=。解：5. 已知由数据(0,0), (1,2)和(2,y)三点构造出的二次插值多项式
2、中的系数为1, 则y=。解：设二次插值多项式为令，令，解得注： 又解：一阶差商二阶差商001222yy-2(y-4)/2所以二次插值多项式为，令的系数为1, 得到y=。6. 按下列数据表构造适合的三次样条插值函数S(x)，则有x-101y-113428解：用三弯矩法。所给的是第一种边界条件：于是，代人上式得到由，得到再令得到（*）与（*）联立得到解之得到注意到得到7. 利用积分计算时，要求误差不超过，若采用复化梯形公式，至少应取950个节点，若采用复化Simpson公式，至少应取52个节点.解：用复合梯形公式。截断误差为（）令得到至少应取950个节点用复合Simpson公式，分为2n等分，截断
3、误差为 令得到所以至少应取52个节点二、 (10分)用牛顿法求在区间2,3内的根，取初始值，要求误差。解： 迭代公式 （分）计算过程每步两分迭代3步即可三、(10分)使用Dolittle 三角分解求解线性方程组解：求解得求解得结果：l =1.0000 0 0-0.3333 1.0000 00.6667 -1.4000 1.0000u =3.0000 -1.0000 4.0000 0 1.6667 -0.6667 0 0 -5.6000y = 7.0000 1.3333 -2.8000四、（16分）分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组精确至2位有效数字。初始向量均取解
4、：Jacobi 迭代格式, , , Seidel 迭代格式 【或】 五、(10分)试求一个不超过4次多项式,使得。解：方法1：泰勒公式设,（2分）（1分） （3分）解得 （3分） （1分）方法2：待定系数法设,（1分） （1分） （5分）解得 （3分） （0分）方法3：为三次多项式，由插值可得一插值多项式（1分），所以，其中A为待定系数 （3分）积分得 其中A,B为待定系数（1分） （1分） （1分）得 （2分）所以（1分）六、(12分) 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合X-3-1024Y2625.9601552.64解：依题意 设 解方程即得所求二阶拟合多项式为七、(12分)试确定下面求积公式使其代数精度尽可能高。(1)给出最高的代数精度；（2）使用此公式计算积分，给出其误差。解：公式若有3次代数精度，需有 解得： 故求积公式为当 最高代数精度为3（2）误差 八、(12分)用改进的欧拉方法求解初值问题，取步长，计算的近似值并与准确值比较.解: , ,，,真实值，误差0.0082720587,，,真实值，误差0.01585588846运行结果：10
