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1、信号与系统习题(4)附答案.doc 习题四 一、基本题 1若 f（t）是已经录制声音的磁带，则 f（2t）、f（t/2）、2 f（t）分别表示什么操作？（例如：f（t- t 0 ）表示将此磁带延时 t 0 时间后播放。） 2求卷积2e ( 3)* ( 5)tt t e e-+ - 。 3 某 离 散 系 统 的 零 状 态 响 应 ( ) y k 与 激 励 ( ) f k 之 间 的 关 系 为( ) y k =02 ( )iif k i=-， 求系统的单位序列响应 ( ) h k 。 4已知输入信号 f（t）=2 420cos100 cos (10 ) t t ，系统的传输函数为240(j
2、 ) ( ) H G w w = 。求零状态响应 ( ) y t 。 5已知2 2( ) e ( )tf t t t e-= ，求 f（t）的象函数 ( ) F s 和 ( )d f t t+-。 6已知序列 ( ) f k 的象函数23( )2 5 2zF zz z=- +，试指出 ( ) F z 所有可能的原序列，并指明收敛域。 7一个理想滤波器的频率响应如下图 a 所示，其相频特性为 ( ) 0 j w = ，若输入信号为图 b 的锯齿波，求输出信号 ( ) y t 。 4 -(j ) H ww 024 1 -( ) f tt 012 2 - 1( ) 0 j w = （a） （b） 8
3、信号 ( ) (100 ) f t Sa t = 被抽样，求奈奎斯特频率Nf 。 二、已知因果系统的差分方程为 7 1 5( ) ( 1) ( 2) 3 ( ) ( 1)12 12 6y k y k y k f k f k - - + - = - - （1）求 ( ) h k ； （2）若 ( 1) 1, ( 2) 0 y y - = - = ， ( ) ( ) f k k d = ，求其零输入响应、零状态响应和全响应。 三、已知某连续时间全通 LTI 系统的系统函数为 1( )1sH ss-=+，系统输出为2( ) e ( )ty t t e-= 。 （1）求输入 ( ) f t ； （2）
4、系统是否因果、稳定？并确定其收敛域？ （3）画出该系统的系统框图。 四、如图所示 LTI 因果连续系统框图，已知系统具有一定的初始储能，输入( ) ( ) f t t e = 时，系统的全响应为3( ) (1 e e ) ( )t ty t t e- -= - + （1）确定图中 a、b 和 c 的数值，并判断此系统是否稳定。 （2）求系统的零输入响应 ( )ziy t 。 ) (s F ( )zsY s+-+ abc11s -1s -+ 五、已知系统在零输入条件下的状态方程为 ( ) ( ) x t Ax t = ，当2(0 )1x- = 时，零输入响应2e( ) ( )ettx t t e
5、- = ；当1(0 )1x- = 时，零输入响应e 2 e( ) ( )e et tt ttx t tte- - - += + 。求e At 和 A。 习题四答案 一、基本题 1 f（2t）表示将此磁带以 2 倍速度加快播放； f（t/2）表示将此磁带放音速度降低一半播放； 2 f（t）将此磁带音量放大一倍播放。 22 6 2( 3)( 3)* ( 5) ( 3)* ( 5)t te t t e e t t e e e e- - + - = + - 6 26 26 26 2( 2) ( )* ( 3)* ( )* ( 5)( )* ( )* ( 2)0.5(1 ) ( )* ( 2)0.5 1
6、 ( 2)tttte e t t t te e t t te e t te e te d e de e de de- -= + -= -= - -= - - 30 0 0( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )i k k ki i ih k k i k i k i k d d d e = = = - = - = - = 42 4( ) 20cos100 cos (10 ) 10cos100 5cos20210 19900 f t t t t t t = = + + ( ) 10 ( 100) ( 100) 5 ( 20210) ( 20210)( 19900) ( 19900)F
7、 jw w w w ww wp d d p d dd d= + + - + + + -+ + + - ( ) ( ) ( ) 10 ( 100) ( 100) Y jw H jw F jw w w p d d = = + + - ( ) 10cos(100 ) ( )zsy t t t e = 51( ) tse ，利用 S 域微分性质，得22 22 31 2( ) ( 1) ( )dt tds S Se - = 故由频移特性，得32( )( 2)F ss=+。 由时域积分特性，31 1( ) ( )( 2)tf d F ss s st t- =+ 利用终值定理，得： 01( ) lim (
8、) lim ( )4tt sf d f d F s t t t t+- - = = = 6 ( )2 1/2z zF zz z= - -， （1） ( ) f k 是因果序列，1( ) (2) ( ) ( )2k kf k k e = - ， 2 z ； （2） ( ) f k 是反因果序列，1( ) (2) ( ) ( 1)2k kf k k e = - + - - ， 0.5 z （3） ( ) f k 是双边序列，1( ) (2) ( 1) ( ) ( )2k kf k k k e e = - - - - ， 0.5 2 z ( )1 1( ) 23 4k kh k k e = + （2
9、） ( ) ( ) f k k d = ( )1 1( ) 23 4k kzsy k k e = + ( )1 21 1( )3 4k kziy k c c k e = + ( )4 1 3 1( )3 3 4 4k kziy k k e = - ( )4 1 3 1( )3 3 4 4k kziy k k e = - ( )10 1 1 1( ) ( ) ( )3 3 4 4k kzi zsy k y k y k k e = + = + 三、 解：（1）1 2( )3 3( )( ) 2 1Y sF sH s s s= = + - 2 Re 1 s - - 因果 稳定 （3） ) (t f
10、) (t y 1 - 1 - 1/s 四、 （1）确定图中 a、b 和 c 的数值，并判断此系统是否稳定。 假设左边加法器的输出为 ( ) X s ，则： 1 2( ) ( ) ( ) ( ) X s F s aX s S bX s S- -= + + 2( ) ( ) ( )ZSY s X s cX s S-= + 因此，系统函数 2 21 2 21( )1cs s cH sas bs s as b- -+ += =- - - - 根据已知的全响应表达式和输入信号形式，判定本系统的两个特征根为 -1 和-3，根据 ( ) H s 分母多项式写出系统的特征方程式为： 2 2( 1)( 3) 4
11、 3 a b l l l l l l - - = + + = + + ， 比较系数得： 4 a=- ， 3 b=- 。 21( ) ( ) ( )( 1)( 3)ZSs cY s F s H ss s s+= =+ + 强迫相应的象函数是 ( )ZSY s 部分分式展开项中对应 ( ) F s 极点的展开相，本题为3( ) ( ) ( )3P pc cY s y t tse = = 观察全响应的形式，可知 ( ) ( )py t t e = ，所以得 c=3。 因此，系统函数 2 223 3( )4 3 ( 1)( 3)s sH ss s s s+ += =+ + + + 由上式可知系统函数的
12、收敛域为 1eR s - ，极点全部在左半开平面，故系统稳定。 （2）求系统的零输入响应 ( )ziy t 21 3 1 2 2( )( 1)( 3) 1 3ZSsY ss s s s s s+= = - + + + + 3( ) (1 2 2 ) ( )t tzsy t e e t e- -= - + 故得零状态响应为： 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )t tzi zsy t y t y t e e t e- -= - = - 五、 因有 ( ) (0 )Atx t e x-= ，故有 2 21tAtteee- = 2 11t tAtt te teee te- - - + = + 合并得：
