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1、精品文档第一章控制系统的状态空间表达式1. 状态空间表达式x = Ax + Bun 阶u:r 1 y: m 1 A:n n B:n r C:m n D:m ry =Cx + DuA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；E为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输岀矩阵，表示输岀与每个状态变量间的组成关系，D直接传递矩阵，表示输入对输岀的直接传递关系。2. 状态空间描述的特点 考虑了“输入一状态一输岀”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输岀。 状态方程和输岀方程都是运动方程。 状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变
2、量可以选择。 状态变量的选择不唯一。 从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。3. 模拟结构图（积分器 加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输岀表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画岀相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。4. 状态空间表达式的建立 由系统
3、框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输岀选作 Xi，输入则为Xi ； c由模拟图写岀状态方程和输岀方程。 由系统的机理岀发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。 由描述系统的输入输岀动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程 一系统函数一.模拟结构图.状态空间表达式注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。 p2
4、8c对多输入多输岀微分方程的实现，也可以先画岀模拟结构图。5 状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量pi的求解：也就是求（ J -A）x = 0的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型（A为任意矩阵）：主要是要先求岀变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。 b有重根时，设3阶系统，-1 = 2， 3为单根，对特征矢量P1，P3求法与前面相同， P2称作1的广义特征矢量，应满足（1丨- A）P2 = -P1系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数一部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。6 .由状态空间表达式求传
5、递函数阵 W（S）W（s） =C（sI - A） B D m r的矩阵函数Wj Wj表示第j个输入对第i个输出的传递关系。状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W（s）是不变的。子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵W（s）。方法：画岀系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章控制系统状态空间表达式的解-At一.线性定常系统齐次状态方程（x = Ax）的解：x（t） = e x0二矩阵指数函数一一状态转移矩阵1. t） = eAt表示x（0）到x（t）的转移。5个基本性质。At2. e的计算：a定义；b变换为约旦标准型上（或）=：丁人丁 rTe-T 或TeJtT记忆
6、常用的拉氏变换对c用拉氏反变换eAt =L（sl - A） J；(th - 1;1(th -;4r；et -s s；tnn!s.at；te1s2 ;sin t r ;cos t2(s a)s -s -d应用凯莱-哈密顿定理三线性定常系统非齐次方程（tx = Ax Bu）的解：x（t）二（t）x（0）0 （t -）Bu（ ）d。可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求（teAt，然后将b和u（t）代入公式即可。特殊激励下的解。第三章线性控制系统的能控性和能观性能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统
7、）判别方法（一）：通过线性变换 x = Ax Bu z =TATz T JBu1 1i 若a的特征值互异，线性变换（X =Tz ）为对角线标准型，：=T AT，能控性充要条件：T B没有全为o的行。变换矩阵T的求法。2若A的特征值有相同的，线性变换（x二Tz ）为约当标准型，J =T 4 AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的部分,每个约当块对应的T JB中最后一行元素没有全为o的。T 4B中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为o的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T、T、T JB。判别方法（二）：直接从a，b判别n _jx = Ax Bu
8、能控的充要条件是能控性判别矩阵 M = （B, AB, A B,A B）的秩为n。在单输入系统中，M是一个n n的方阵；而多输入系统， M是一个n nr的矩阵，可通过rankM二rank （MM T）三.线性定常系统的能观性判别 判别方法（一）：通过线性变换x = Ax z = T，ATzTy = Cx y 二 TCz1 若A的特征值互异，线性变换（X =Tz ）为对角线标准型,上=T AT，能观性充要条件：TC中没有全为o的列。变换精品文档矩阵T的求法2若A的特征值有相同的，线性变换（x =Tz）为约当标准型，J =T - AT，能控性充要条件：对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的 TC
9、中第一列元素没有全为o的。对应于互异特征根部分，对应的 TC中各列元素没有全为o的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求判别方法（二）：直接从A， C判别能观性的充要条件是能观性判别矩阵N =CA的秩为n。（A在单输入系统中， N是一个n n的方阵；而多输入系统， N是一个nm n的矩阵，可通过rankM = rank（MM T ）六能控性与能观性的对偶原理 1 右 A2 A1 ， B2 C1 ， C2 = B1，则 11 (A1 , B1 , G)与二 2 (A2, B2, C2 )对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的
10、。2. 3与匕2对偶，则11能控性等价于12能观性，11能观性等价于 二2能控性。时变系统的对偶原理？七能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。1.能控标准I型（如果已知系统的状态空间表达式）判别系统的能控性。计算特征多项式| I -A|= aa1 -ao，即可写出A。求变换矩阵Tci =-P11P1AIgAnJn _1_1P! =0,0,1b,Ab, A B。求 Td ，计算 b_010c = cTc1，也可以验证是否有 A = Tc1 ATc1 2.能控标准H型 a- a，即可写出A 求变换矩阵 二b, Ab,，An4b。
11、求Tc2,，计算b二 b = 判别系统的能控性。计算特征多项式|，| -A| = tn，c = cTc2，也可以验证是否有 A = Tc2 ATC2 3. 能观标准I型判别系统的能观性。计算特征多项式| _A|- 丁 an j - n Ja a0，即可写出A。求变换矩阵To1J求 To1，计算 b =To1 二b，c 二 cT1 = 100 l也可以验证是否有A二T1AT01。4.能观标准H型判别系统的能观性。计算特征多项式T2 二 T1,AT1, ,AnlT1 1，T1-c 1cAcAnJL1是否有 A =T2 AT。？。ccAnJnJ nJa a0，即可写出A。求变换矩阵。求T02，计算b
12、 = T2 b， c = cT2 =001.1，也可以验证5.如果已知传递函数阵，可直接写岀能控标准I型和能观标准U型的状态空间表达。W(s)二n -1sn -1n -2nS -nsn丄ansa./亠a1sa0能控标准I型:能观标准u型:001 00-b =a000 10a。_ ai_ a2 _ an J _1 i1 一八线性系统的结构分解十。P1c=0 01n/i 按能控性分解（状态不完全能控，即rankM = n1 c n ）,通过非奇异变换 x = Rc ?完成。Rc 二 R1R2Rn1Rn ，前个列矢量是M中n1个线性无关的列，其他列矢量保证 Rc非奇异的条件下是任意的。2 按能观性分
13、解（状态不完全能观，即rankN = n n ），通过非奇异变换x = R。:？完成。RoRiR2，前ni个行矢量是n中m个线性无关的行，其他行矢量保证RJ非奇异的条件下是任意的Rn1Rn3 按能控性和能观性分解(系统是不完全能控和不完全能观的)，采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观步骤：首先按能控性分解( xc能控状态，xc不能控状态)。对不能控子系统按能观性分解(xco不能控能观状态，X%不能控不能观状态)。将能控子系统按能观性分解(Xco能控能观状态，Xco能控不能观状态)。综合各步变换结果，写出最后的表达式。另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列 九传递函数阵的实现问题1 实现的定义：由 W(S)写岀状态空间表达式，甚至画岀模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题d = lim w(s)S ：:条件：传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；元是S的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求岀直接传递矩阵2 能控标准型和能观标准型实现单入单出系统， W(s)是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现多输入多输出系统，W(s)是矩阵，将 W(s)整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式，即p sn_L +0 sn + s + 0 W(s) = n 4心TT圧-310一 ；此时的：o ：nJ
