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1、第七章 初等模型如果研究的问题或对象的机理比较简单，通常用静态、线性、确定性 模型描述就能达到建模目的时，基本上就可以用初等数学的方法构造和求 解模型。本章通过椅子放稳、学生会代表名额分配、汽车的安全刹车距离、生 猪体重的估计、 核军备竞赛、 使用新材料与新方法的房屋节能效果等问题， 介绍用初等数学构造和求解模型的方法与技巧。需要说明的是，一个数学模型的好差在于其应用效果，不在于其使用 了多么高深的数学方法与技巧。也就是说，一个问题可用初等数学构造和 求解模型，也可用高等数学构造和求解模型，如果应用效果差不多，那么 前者是好的。7.1 椅子能在不平的地面上放稳吗一、问题的提出这个问题来自日常生
2、活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面一 放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四 只脚同时着地，放稳了。请用数学模型证明为什么能放稳。二、问题分析此问题与数学有关吗？ 由常识我们知道，椅子是不能在台阶上放稳的。同样地，如果地面某 处凹凸太厉害，以至于凹凸的幅度超过椅腿的长度，椅子也不能放稳。所 以椅子能在地面上放稳是指在相对平坦的连续地面上放稳。通常椅子有四条一样长的腿，四脚共圆；椅脚一般加工成较小的 “面”， 椅子在地面上放稳是四脚同时着地， 而椅脚着地只要椅脚面上有 一点与地面上一点接触就可以了。移动椅子有三种方法：旋转；平移；平移加旋转。其中旋转要设1 个变量；
3、平移要 2 个；平移加旋转要 3 个。为了简单起见采用旋转法。如何 旋转？由于四脚共圆，绕这个圆心旋转。三、假设1 、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚共圆；2 、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；3 、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。四、建立模型以椅子移动前四脚所在的平面建立平面直角坐标系(见图7.1.1 )，使得四脚A、B、C、D共圆的圆心与坐标原点重合。用 表示旋转，则四脚与地面的距离随的变化而变化，即四脚与地面的距离都是关于的一元函数，分别用 hA( )、hB()、足()、hD()表示旋转 后脚A、脚B、脚C脚D与地面的距离。由假设 2可知，hA()、 hp
4、( )、hc( )、hD()均为 的连续函数。这时问题转化为：求，使hA () hB(o) hc(o) hD(o) 0。这是一个数学问题，如何解决？很容易让我们想到用连续函数的基本 性质解决，但面对 4个函数不好直接证明，只能寻求转化。把4个函数变成2个函数，可以通过两对角线分别组合；对边分别组合；也可以一脚成 一个函数，另三脚组合成一个函数。因此一般模型这样建立：对于四脚与地面距离有4个函数，旋转前不着地的几脚与地面距离之和记为f()，其它脚与地面距离之和记为g()。显然f ( ) , g()是连续函数；对任意 q, f ( )g( )0 ,且g(0)0，f(0)0。证明：存在 0，使 f(
5、 o) g( o)0。五、模型求解将椅子旋转，使f ( ) 0。令h( ) f( ) g()，由f ( ), g()的连续性知h()连续，而且h(0)0和h( )0。如果h( )0，那么f( ) g( )0，即椅子旋转 后四脚同时着地。如果h( ) 0，那么h(0)h( ) 0。据连续函数的基本性质 ，必存在 00，使使 h( 0) 0 ,即使 f( 0) g( 0)。因为 f( )g( )0,所以f( 0) g( 0) 0,即椅子从初始位置旋转 后四脚同时着地。六、评注如果四脚呈正方形，通过两对角线分别组合构造f( ) , g();将椅子旋转/2而证明。如果四脚呈矩形，通过两对边分别组合构造
6、 f(),g()；将椅子旋转而证明。 7.2学生会代表名额分配一、问题的提出某高校一学院有3个系共1000名学生，其中甲系有500名，乙系300 名，丙系200名。若学生代表会议设 20个席位，公平而又简单的是按学生 人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10，6，4个席位。丙系30名学生提出转系，经批准各有15名学生分别转到甲系和乙系。 按学生人数的比例分配，三系分别应占有10.3，6.3，3.4个席位。但席位数只能是自然数！于是有比例加惯例的分配法：将取得整数的19席以10,6, 3分配完毕后，三系同意剩下的一席分给比例中小数最大的丙系，于是 三系分别占有10，6，4席。因为有20席的代
7、表会议在表决提案时可能出 现10： 10的局面，会议决定下一届增加 1席。他们按照比例加惯例的分配 法重新分配席位，三系分别占有11 , 7，3席。显然这个对丙系太不公平了， 总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。上述例子说明我们要找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的 分配方法。二、问题分析我们先讨论A, B两方公平席位的情况。设两方人数分别为p1和p2，占有席位分别是 口和，则两方每个席位代表的人数分别为P1 / n和P2/门2，而且我们知道显然仅当 p/nt P2/n2时席位的分配才是公平的， 但是因为人数和席位都是整数，所以通常是p1 / nt和p2 /n2并不相等，这时的席位分
8、配不公平，并且 pi/ n, (i 1 , 2)数值较大的一方吃亏，或者说对这 方不公平。三、建立公平分配席位的指标不妨假设 卩1/门1 P2 /门2，则不公平程度可用数值p1 /n1 P2 /门2描述不公平，它衡量是不公平的绝对程度，常常无法区分两种程度明显不同的 不公平情况。为了改进上述绝对标准，自然想到用相对标准，即把也 虫51定义为对A的相对不公平度rA(n1 ,n2)。同样可定义为对 BP2 /的相对不公平度rB(n 1,n2)P2/n2 P1/n1。P1 /建立了衡量不公平程度的数量指标后，制定席位分配的方案的原则是使它们尽可能小。四、公平分配席位的方法假设A, B两方已占有ni和
9、压席，利用相对不公平度 rA和rB讨论，当 总席位增加一席时，应该分配给A还是B。不失一般性可设 pi/ niP2 / n2，当再分配一席时，关于Pi/ ni(i 1,2)的不等式可能有以下3种情况：(1) Pi/(ni 1) P2 /门2，这说明即使A方增加一席，仍然对A不公平， 所以这一席显然应该分给A方。(2) Pi /(ni 1)卩2山2，说明当A方增加一席时将变得对B不公平， 这时我们可计算出对 B的相对不公平度为P2“2 Pi /(ni 1)P2(ni 1),B(ni 1, n2)-1Pi /(ni 1)pg(3) Pi/ niP2 /(n2 1)，即当B方增加一席时对 A不公平，
10、这时我 们可以计算出对 A的相对不公平度为( ni, n2 1)Pi/ni P2/( n2 1Pi(n2 1) 1P2 /(n? 1)P2ni由于公平席位的原则是使得相对不公平度尽量地小，如果2PiA(ni , n 1)rB (m 1, n?)，即ni( ni 1)2P2山(r)21)，那么这1席分给A方；如果。(厲,n21)“(ni 1, m)，即2P22Pir)2( rh 1)ni (ni 1)，那么这1席分给B方。记Qi2Pini(ni 1) (i1,2)，则增加的1席应分给Q值较大的一方。此方法可以推广到有m方分配席位的情况：设第i方人数为Pi，已占2有个席位n i , i 1,2,m
11、。当总席位增加1席时,计算Qi匹n , ni 1)i 1,2, m，应将这一席分给 Q值最大的一方。如果算到两个或两个以上的Q值同时达到最大值时该怎么办呢？这时只能用抽签的方法解决了。五、问题的解决回到某高校一学院学生代表会议 21个席位的分配问题，前 19个席位 应是10，6，3的分配方案，接下来的工作就是用 Q值法分配第20、21席 了。对于第20席，由Qi 96.4、Q294.5、Q3 96.3知这一席应该分给 甲系。对于第 21 席，由 Q1 80.4、 Q2 94.5 、 Q3 96.3知这一席应该分给 丙系。注：用Q值法从第1个席位一直算到第 21个席位后，分配结果仍是 甲、乙、丙
12、三系的席位分别为 11 ， 6，4。这样， 21 个席位的分配结果是三系分别占有 11， 6， 4 席，丙系保住 了险些丧失的一席。六、评注Q 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？m 方人数分别为 p1 , p2 , pm , 记总人数为 Pim 1 pi , 待分配的总席位为N。设理想情况下m 方分配的席位分别为 n1, n2 , nm ( 自然 应有 Nm i1 ni ,并 且 nini (p1 , p2 , , pm , N ) ) , 记 qi piN /P,i 1,2,m,则席位分配的理想化准则(1)qini qi 1 , i1, 2, ,m；( 2)ni (p1, p2 , , p
13、 m , N) ni(p1 ,p2 , , pm,N 1), i1,2, ,m 。“比例加惯例”满足原则 （1）而不满足原则（2 ）;Q值法满足原则（2）, 不满足原则（ 1 ）。那么到底有没有一种方法能同时满足两个原则呢？令人遗憾的是,没 有找到能同时满足这两个法则的分配方法。七、问题 设席位数分别为 1,2, ,计算各方一名代表代表的人数, 从每一方一 名代表代表的人数尽可能接近来分配代表席位。请用这种方法（DHondt）对本节开始的某高校一学院学生代表会议的席位进行分配,并说明这种方 法满足原则（ 2）而不满足原则（ 1 ）。如果你学习了概率论,能否从数学期望和方差的角度提出一种分配方法
14、？7. 3 汽车的安全刹车距离一、问题的提出美国某些汽车司机培训课程中的驾驶规则：在正常驾驶条件下, 车速每增加 10 英里 / 小时,后车与前车的距离应增加一个车身长度。我们称为 “车身规则”。实现这个规则的简便方法是“2 秒法则” ： 后车司机从前车经过某一 标志开始默数 2 秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。需要解决的问题：“2 秒法则”与“车身规则”是否一样；通过建立 数学模型，寻求更好的驾驶规则。二、问题分析常识：刹车距离与车速有关。“10 英里 /小时（? 16 公里/ 小时）车速下 2 秒钟行驶 29 英尺（? 9 米） ”大于“车身的平均长度15英尺 （4.6 米） ”。由此
15、可见， “2秒准则”与“10 英里/ 小时加一车身”规则不同。刹车距离由反应距离和制动距离构成。而反应距离受司机的反应时间 及汽车速度影响。每个司机的大脑反应状况不同，不同汽车的制动系统灵 活性有差异，为了确定反应距离，需要在汽车制动系统灵活的条件下假定 司机的反应时间为常数（可以通过若干司机反应时间的平均值表示） 。制动距离由汽车制动器作用力、车重、车速、道路、气候等确定，最 大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。由于各汽车的车重、车 速不尽相同，汽车行驶的道路以及气候也有差异，为了确定制动距离，需 要假定道路、气候对制动距离没有影响。三、假设1、刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和；2、道路、气候对制动距离没有影响，汽车制动系统灵活，汽车最大 制动力F与汽车质量m成正比
