三线摆法测转动惯量

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1、三线摆法测转动惯量一、概述转动惯量是物体转动惯性的量度。物体对某轴的转动惯量的大小，除了与物体的质 量有关外，还与转轴的位置和质量的分布有关。正确测量物体的转动惯量，在工程技术 中有着十分重要的意义。如正确测定炮弹的转动惯量，对炮弹命中率有着不可忽视的作 用。机械装置中飞轮的转动惯量大小，直接对机械的工作有较大影响。有规则物体的转 动惯量可以通过计算求得，但对几何形状复杂的刚体，计算则相当复杂，而用实验方法 测定，就简便得多，三线扭摆就是通过扭转运动测量刚体转动惯量的常用装置之一。二、实验目的1、学习用三线摆法测量物体的转动惯量，相同质量的圆盘和圆环绕同一转轴扭转， 实验所得转动惯量不同，说明

2、转动惯量与质量分布有关。2、验证转动惯量的平行轴定理。3、学习用激光光电传感器精确测量三线摆扭转运动的周期。三、实验原理三线摆是将一个匀质圆盘，以等长的三条细线对称地悬挂在一个水平的小圆盘下面构成的。每个圆盘的三个悬点均构成一个等边三角形。如图1所示，当底圆盘B调成水上圆盘下圆盘平，三线等长时， B 盘可以绕垂直于它并通过两盘中心的轴线OO 作扭转摆动，扭转的周期与下圆盘（包括其上物体）的转动 12惯量有关，三线摆法正是通过测量它的扭转周期去求已知质量 物体的转动惯量。由节末附的推导可知，当摆角很小，三悬线很长且等长，悬线张力相等，上下圆盘平行，且只绕OO轴扭转的条件下，12图1下圆盘B对00

3、轴的转动惯量/为:1 2 0(1)式中m为下圆盘B的质量，r和R分别为上圆盘A和下圆盘B上线的悬点到各自圆心001和O的距离（注意r和R不是圆盘的半径），H为两盘之间的垂直距离，T为下圆盘扭 20转的周期。若测量质量为m的待测物体对于OO轴的转动惯量J ,只须将待测物体置于圆盘12上，设此时扭转周期为T，对于OO轴的转动惯量为：12(m + m0 丿旳T24兀2H于是得到待测物体对于OO轴的转动惯量为:12J = (m + mo)gRrT2 - J4兀 2 H0上式表明，各物体对同一转轴的转动惯量具有相叠加的关系，这是三线 摆方法的优点。为了将测量值和理论值比较，安置待测物体时，要使其 质心恰

4、好和下圆盘 B 的轴心重合。(2)(3)图2本实验还可验证平行轴定理。如把一个已知质量的圆柱体放在下圆 盘中心，质心在OO轴，测得其转动惯量为J ；然后把其质心移动距离1 2 2d ,为了不使下圆盘倾翻，用两个完全相同的圆柱体对称地放在圆盘上，如图 2 所示。设两圆柱体质心离开OO轴距离均为d （即两圆柱体的质心间距为2d ）时，对于OO轴1 2 1 2的转动惯量为J ,设一个圆柱体质量为m ,则由平行轴定理可得：3md 2 = 3 - J2 2(4)由此测得的d值和用长度器实测的值比较，在实验误差允许范围内两者相符的话，就验 证了转动惯量的平行轴定理。四、仪器和器材新型转动惯量测定仪平台、米

5、尺、游标卡尺、计数计时仪、水平仪，样品为圆盘、 圆环及圆柱体 3 种。为了尽可能消除下圆盘的扭转振动之外的运动，三线摆仪上圆盘A可方便地绕OO12轴作水平转动。测量时，先使下圆盘静止，然后转动上圆盘，通过三条等长悬线的张力使下圆盘随着作单纯的扭转振动。五、实验内容及仪器使用方法 依照机械能守恒定律，若扭角足够小，悬盘的运动可以看作简谐运动，结合有关几 何关系可以得到如下公式：1、悬盘空载时绕中心轴作扭转摆动时的转动惯量为：M gRrJ =0 T 204 兀 2 H 02、悬盘上放质量为 M 的物体，其质心落在中心轴，悬盘和 M 物体共同对于中心轴11的总转动惯量为：=(0 + 1)gR T 2

6、14n 2 H1质量为M的物体对中心轴的转动惯量J :1M 1M 1103、质量为M的刚体绕过质心轴线的转动惯量为J,转轴平行移动距离d时，其绕新2轴的转动惯量将变为J 二J + M d2，将两个质量相同的圆柱体M对称的放置在悬盘22的两边，并使其边缘与悬盘上同心圆刻槽线相切，如图3 所示，如果实验测得摆动周期为T，则两圆柱体和悬盘对中心轴的总转动惯量为:2=(M0 + 2M丿gRr T 224n 2 H2质量为M的圆柱体对中心轴的转动惯量J为:2M 2JM2 = J2 - J0）4、比较实验数据与理论计算的结果。（理论公式详见讲义）5、圆盘半径测量及验证平行轴定理示意图如图2和图3 所示。图

7、3六、仪器使用步骤1、调节三线摆1）调节上盘（启动盘）水平 将圆形水平仪放到旋臂上，调节底板调节脚，使其水平。2）调节下悬盘水平将水平仪放至悬盘中心，调节摆线锁紧螺栓和摆线调节旋钮，使悬盘水平。2、调节激光器和计时仪1）先将光电接收器放到一个适当位置，后调节激光器位置，使其和光电接收器在 一个水平线上。此时可打开电源，将激光束调整到最佳位置，即激光打到光电 接收器的小孔上，计数计时仪右上角的低电平指示灯状态为暗。注意此时切勿 直视激光光源。2）再调整启动盘，使一根摆线靠近激光束。 （此时也可轻轻旋转启动盘，使其在 5 度角内转动起来）3）设置计时仪的预置次数。 （具体操作步骤见后面说明）3、测

8、量下悬盘的转动惯量 J01）测量上下圆盘悬点到盘心的距离r和R，用游标卡尺测量悬盘的直径D1。2）用米尺测量上下圆盘之间的距离H。3）记录悬盘的质量M。04）测量下悬盘摆动周期T，轻轻旋转启动盘，使下悬盘作扭转摆动（摆角V5o）,0记录 20 个周期的时间。4、测量悬盘加圆环的转动惯量J11）在下悬盘上放上圆环并使它的中心对准悬盘中心。2）测量悬盘加圆环的扭转摆动周期T。13）测量并记录圆环质量M，圆环的内、外直径D. 和 D。1内 外5、测量悬盘加圆盘的转动惯量J31）在下悬盘上放上圆盘并使它的中心对准悬盘中心。2）测量悬盘加圆盘的扭转摆动周期 T 。 33）测量并记录圆盘质量M，直径D。

9、3盘6、验证平行轴定理1）将两个相同的圆柱体按照下悬盘上的刻线，对称的放在悬盘上，相距一定的距离 2d 二 D -D。槽 小柱2）测量扭转摆动周期T 。23）测量圆柱体的直径D ，悬盘上刻线直径D 及圆柱体的总质量2M。小柱槽2七、实验内容图31、测定下圆盘对于OO轴的转动惯量J，和理论值进行比较。1 2 0理论值公式为：圆盘（或圆柱体）J = 1 mD 2，（D为直径）；8圆环J =1 m62 + D2），R和r由实验室给出，或按图3所8 内 外i示可得 r = r a32、测圆环或圆盘对于OO的转动惯量J ,和理论值比较。123、验证平行轴定理。将两个直径为D的圆柱体放置在悬盘上，使它们的

10、间距为2d，如图2所示，d为圆柱体中心轴线与转轴间距离，两圆柱体中心连线通过转轴。测得J和J，按32（4）式计算md 2值，并与理论值进行比较。八、实验数据（仅供参考）表一 各周期的测定悬盘质量圆环质量2圆柱体总质量圆盘质量测量项目M =61553g0M =235 05g12M =23985g2M =22135g3摆动周期数n2020202020136.79334.90034.65634.269周期236.75034.90134.63134.321时间336.80934.87034.65234.271t / s436.74334.91034.67334.325536.78934.89134.6

11、6734.285平均值/ s36.77734.89434.65634.294平均周期T = t/niT =1. 8388s0T =1. 7447s1T =1. 7328s2T =1. 7147s3表二 上、下圆盘几何参数及其间距测量项目D /cmH /cma /cmb /cmJ3R =a /cm3r =/cm3次数116.79257.7013.825.257.9793.025216.79057.6813.805.24316.79457.6913.835.23平均值16.79257.6913.825.24表三 圆环、圆柱体几何参数测量项目D , /cm 内D /cm外D /cm盘D /cm小柱D

12、 /cm 槽2d = D D/cm槽小柱次数16.00412.01611.9962.99911.998.9926.00612.01811.9973.00036.00412.01611.9963.001平均值6.00512.01711.9963.0001、实验计算得转动惯量值：-RM T24兀 2 H 00979.4 x 7.979 x 3.0254兀 2 x 57.69x615.53x1.83882=2.160 x 104 g cm 2 = 2.160 x 103 kg m 2-gR (M + M )T 2 =4兀 2 H 011979.4 x 7.979 x 3.025x (615.53 +

13、 235.05) x 1.744724兀 2 x 57.69=2.688 x 104 g cm2 = 2.688 x 103kg m2x (615.53 + 239.85) x 1.73282979.4 x 7.979 x 3.0254兀 2 x 57.69=2.666 x 104 g cm2 二 2.666 x 10-3kg m2x (615.53 + 221.35) x 1.71472979.4 x 7.979 x 3.0254n 2 x 57.69=2.554 x 104 g cm2 = 2.554 x 10-3kg m2J = J 一 J = 2.688 x 10-3 一 2.160

14、x 10-3 二 0.528 x 10-3 kg m2M 110M22.666 x 10-3 2.160 x 10-32=0.253 x 10-3 kg m2J = J J = 2.554 x 10-3 2.160 x 10-3 = 0.394 x 10-3kg m2M 3302、理论计算值：J/ = 1M D2 = 1 x 615.53 x 16.7922 = 2.170 x104gcm2 = 2.170x103kgm20 8 0 1 8J/ = 1M G2 + D2 L1 x 235.05 x(5.0052+12.0172)=0.530 x104g cm2M 18 内 外 8= 0.530x103kg m211239 . 85J /=x M D 2+ M