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1、数学思想与数学方法选讲山东教育学院 李玉琪（2009.10）国家教育部2001年7月颁布的全日制义务教育数学课程标准（实验稿）指出：要使学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。教育部2003年颁布的普通高中数学课程标准指出：要“使学生理解数学概念、结论的逐步形成过程，体会隐涵在其中的数学思想方法。”即将颁布的义务教育数学课程标准（修改稿）又进一步指出：“要使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”人们做任何事情，都要在宏观上讲究策略，在微观上讲究方法。策略与方法不当常事倍功半，策略与
2、方法得当则事半功倍。在数学研究与数学学习中，这种宏观上的策略称为数学思想，微观上的方法就是数学方法，二者合称数学思想方法。在数学学习中，由于数学思想和方法是知识向能力转化的中介和桥梁，对于发展学生的能力特别是创造性思维能力具有十分重要的作用，因而数学思想方法成为数学教学的重要内容，成为近20几年来高考与中考数学命题的重点。我们国家对数学思想与方法的深入研究开始于上个世纪80年代。1986年在东北师范大学解恩泽教授的组织下，建立了“全国数学思想方法研究协会”，1988年在著名数学家徐立治先生的倡导下，建立了“全国数学方法论研究中心”。我因为在这之前发表过几篇有关数学思想方法研究的论文，因而应邀成
3、为这两个组织的发起人之一，参与了两个学派的学术研究，并主编出版了四部数学方法论的著作。审视这两个学派的研究内容，他们的区别在于：以解恩泽为首的“全国数学思想方法研究协会”主要从数学的外部和宏观的角度，研究数学思想和数学发现发明的规律，以及数学人才成长的规律，是宏观的数学方法论；以徐立治为首的“全国数学方法论研究中心”主要从数学内部和微观的角度，研究每种数学方法的产生与发展规律，以及数学方法的作用，是微观的数学方法论。由于我同时参与了这两个学派的研究，因而今天我的报告将在两种数学方法论的结合上，即宏观与微观的结合上展开。报告共分五部分数学思想与数学方法，重要的数学思想，数学中的逻辑方法，数学问题
4、解决方法，构建数学理论的方法。我将尽量减少纯理论的阐（chan）述，而主要结合中学数学教学的实际说明问题。限于时间，今天我仅对前三个问题数学思想与数学方法、初中数学中的重要数学思想、数学中的逻辑方法作简单介绍。一、数学思想与数学方法从根本上说，数学科学的全部内容，是由数学问题、数学理论知识（简称数学知识）、数学方法与数学思想组成的系统。在这个系统中，数学问题、数学知识、数学方法与数学思想具有各自不同的内涵，也有着不同的作用。 数学问题所谓“数学问题”，是指数学中需要明晰、需要研究、需要解决的疑难问题。1900年，著名数学家希尔伯特（20世纪最伟大的数学家，1943年去世）在巴黎国际数学家代表大
5、会上作了题为数学问题的演讲，对数学问题的作用和人类20世纪面临的数学问题进行了全面的论述。此后，数学问题在数学研究和数学发展中的重要作用受到了人们的广泛重视。希尔伯特在这次大会的演讲中指出：“数学问题对于一般数学进展的深远意义以及对于研究者个人工作的重要作用是不可否认的。能在一门科学分支中提出大量的问题，该门科学就充满生命力；而问题的缺乏则预示着这门科学发展的终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新的方法，产生新的观点，达到更为广阔自由的境界。”希尔伯特的精辟论述说明：数学问题既是数学发现的起点，又是数学发展
6、的路标；对数学发展既有探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；既能导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造性和进取精神。因此，数学问题被人们形象地称为数学的“心脏”。 数学知识一切数学的概念、原理、法则以及数学语言、数学符号，统称为数学理论知识，简称数学知识。数学知识是人们在研究数学理论问题与实践问题的过程中，逐渐形成的关于客观事物的数量关系与空间形式的基本认识，是客观事物的内部规律在人们头脑中的反映。在数学科学中，每个数学分支都把该研究领域中有关的数学知识用逻辑方法（主要是公理化方法）组织起来，构成相应的理论体系。通常人们看到的，正是这种数学理论知识的体系。因此，各个数
7、学分支都是由不同的数学知识构建起来的。形象地说，数学知识是数学的“躯体”。3数学方法数学方法是人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的具体步骤、程序和格式，是达到数学研究和问题解决目的的途径和手段的总和。从本质上说，数学方法是人们对客观事物的内在联系的能动的反映。在西方语言中，“方法”一词源于希腊文，意指沿着某条道路行进，因而在“方法”的本意上，数学方法是解决数学问题的手段和操作的总和，具有“行为规则”的意义。 数学思想修改版的数学课程标准指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”。从认识论来看，数学思想是人们对数学知识和数学方法
8、的本质认识，是数学知识与数学方法经过高度抽象、概括、提炼上升而形成的数学观点，属于对数学规律的理性认识的范畴。从科学方法论的角度看，数学本身就是认识世界和改造世界的一种方法，数学思想具有方法和工具的作用。从哲学的高度看，数学思想本质上是辩证法的基本观点在数学科学中的体现，是思维方法与实践方法的概括，属于哲学思维方法的范畴。例如，数学中的转化思想（即化归思想），是辩证法关于事物“互相联系”与“运动发展”的基本观点的反映，是“世界上一切事物都是互相联系、互相作用”与“事物不断发展变化”的基本观点在数学中的具体运用，是“在普遍联系和发展变化中把握事物”的哲学思维方法的具体化。又如，数形结合思想实质上
9、是辩证法中的矛盾分析法，反映了“数”与“形”这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化。 数学问题、数学知识、数学方法、数学思想的关系数学问题、数学知识、数学方法、数学思想是相互影响、互相联系、协同发展的辩证统一体，它们的相互作用和相互结合不仅使数学成为一个有机的整体，而且推动着数学的不断发展。纵观数学的发展历史可以看到，人们在解决实践和理论中提出的各种数学问题的过程中，总结和创造了不同的数学方法。在这些数学方法发生的同时，相应的数学知识也相伴形成。在不断探求对数学知识和方法的认识的基础上，数学思想便产生了。例如，寻求“高次代数方程求根公式”的问题源于16世纪，在其后的300年中曾有不少
10、著名数学家为之不懈地奋斗，但直到19世纪法国数学家伽罗华创立了“群论”的思想方法以后才使这一“向人类智慧挑战”的问题得到了彻底的解决。其间，为了解决代数方程根的数目问题，他引入了复数法，不仅由此创立了代数基本定理，而且建立了“群论”的理论。又如，著名数学家欧拉正是在解决“哥尼斯堡七桥问题”的过程中，不仅发现了许多知识并开拓了运筹学和图论等崭新的数学研究领域，而且他的研究也是运用抽象化方法和数学模型方法的光辉范例。综上所述，数学问题是数学生命之源泉，数学思想与方法分别是问题解决的宏观策略与微观的技术手段，数学知识则是认识的结果。就数学问题、数学知识、数学方法与数学思想的关系而言，一方面数学思想与
11、数学方法蕴含在数学的知识体系之中，数学思想与方法的突破又常常导致数学知识的创新；另一方面，数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事物的内在联系，是数学方法的进一步概括和升华。因此，如果说问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为规则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑是数学的“灵魂”。二、重要的数学思想在即将颁布的修改版的数学课程标准中，涉及的数学思想有“归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等”。对此学术界颇有争议，因为其中的归纳、演绎、抽象都是典型的逻辑方法，模型方法则属于数学研究方法。当然，对于数学思想的内涵，需要进行更为深入的研究，老师们都可以参与探讨。从数学方法
12、论的角度考察，初中数学中的数学思想主要是符号思想（字母代数思想）、转化思想（化归思想）、特殊化与一般化思想、数形结合思想、分类思想、方程与函数思想等。（一）符号思想（用字母代替数字的思想）引入符号表示数字，也就是用字母代替数字，是代数学的基本思想。从数学史进行考察，算术与代数本来是数学中最基础、最古老的两个分支学科。就他们的关系来说，算术是代数的基础，代数则是由算术演进而来的，是算术的必然发展。在数学发展的过程中，正是用字母代替数字这种符号思想的产生，促进了算术向代数的演进。1算术解题法的局限性我们知道，算术的主要内容是自然数、分数、小数的性质与运算，但算术解题法有很大的局限性。这种局限性主要
13、表现在算术只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许抽象的和未知的数参与运算。许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助于这种方法求解的。算术解题法的关键是正确列出算式，即通过加、减、乘、除等运算符号把有关的已知数据连接成一个算式，建立起能够反映实际问题本质特征的数学模型。应当说，对于那些只具有简单数量关系的实际问题，运用算术方法列出相应的算式并不难。但是，对于大量的具有复杂数量关系的实际问题，要列出相应的算式就不容易了，因为往往需要很高的技巧。对于那些含有几个或多个未知数的实际问题，要建立起只包含已知数的算式来求解，则常常是不可能的。算术解题法的这种
14、局限性，大大限制了数学的应用，也影响了数学自身的发展。在这种情况下，一种新的数学思想以字母代替数字的思想（即符号思想）诞生了，由此不仅把算术推进到了代数，促进了数学的发展，而且大大拓宽了数学应用的范围。2符号思想的优越性传统初中代数的内容，是初等代数。初等代数的基本方法，是用抽象的字母a，b，c和x，y，z分别表示抽象的数和未知的数，再依据问题的条件组成包含已知数（具体数字或字母）和未知数（字母）的代数式，并按题中的等量关系列出方程，然后通过解方程求出未知数的值。因此，初等代数的中心内容是解方程。由此可以看出，符号思想是初等代数的基本思想，是从算术过渡到代数的桥梁。初等代数与算术的根本区别，在
15、于代数允许未知数参与运算，算术则把未知数排斥在运算之外。如果说在算术中有时也出现未知数的话，那么只能把这个未知数单独地放在等号的左边，所有的已知数则在右边进行运算，未知数并没有参加运算的权力。而在代数中，方程作为由已知数和未知数构成的条件等式，本身就意味着未知数与已知数具有同等的地位，未知数不仅可以成为运算的对象，而且能够依照法则从等式的一边移到另一边。解方程的过程，实质上是通过对已知数和未知数的重新组合，把未知数转化为已知数的过程，即把未知数置于等式的一边，把已知数置于另一边。从这种意义上看，算术运算是代数运算的特殊情况，代数运算则是算术运算的发展与推广。由于引入了符号思想，即用字母代替数字
16、的思想，代数运算较之算术运算有了更大的普遍性和灵活性，极大地扩展了数学的应用范围。许多用算术方法无法解决的问题，在代数中都能轻而易举地得到解决。不仅如此，符号思想的出现对整个数学的发展也产生了巨大而深刻的影响，数学中许多的重大发现都与符号思想有关。例如，利用数学符号解决一元二次方程的求根问题导致了虚数的发现，利用数学符号对五次以上方程求解的研究导致了群论的诞生等。正因为如此，人们把符号思想的诞生看作是数学思想发生第一次重大转折的标志。符号思想（用字母代替数字的思想）到底有哪些优越性呢？最突出的是以下两点：第一，用字母表示数字能够简明地反映事物的本质特征和规律。例如：长6米、宽3米的长方形地面的面积为6318（平方米）；长24厘米、宽17.5厘米的铁片的面积为2417.5420（平方厘米）。上述两个问题的一般规律是：“长方形的面积等于长与宽的积”。利用符号思
