射影定理一、射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)目录直角三角形射影定理的证明 任意三角形射影定理 射影 所谓射影，就是正投影直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项初中射影定理的内容: 射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项 公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）²=BD·DC， （2）（AB）²=BD·BC ， （3）（AC）²=CD·BC 。
等积式 （４）ABXAC=BCXAD(可用“面积法”来证明） 直角三角形射影定理的证明 证明： 射影定理简图(几何画板)一、 在 △BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC， 又∵∠BDA=∠BDC=90°， ∴△BAD∽△CBD， ∴ AD/BD＝BD/CD，即BD^2;=AD·DC其余类似可证也可以用勾股定理证明) 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理 有射影定理如下： AB^2;=AD`AC，BC^2;=CD·CA 两式相加得： AB^2;+BC^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2;, 即AB^2;+BC^2;=AC^2;（勾股定理结论） 二、 已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股证射影 :因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, 所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD. 故AD^2=BD*CD. 运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB. 综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明 任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： △ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a＝b·cosC＋c·cosB， b＝c·cosA＋a·cosC， c＝a·cosB＋b·cosA 注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理 证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA. 同理可证其它的 二、直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： 1.（AD）^2=BD·DC， 2.（AB）^2=BD·BC， 3.（AC）^2=CD·BC 这主要是由相似三角形来推出的，例如，“（AD）^2=BD·DC：”的证明如下： 在 △BAD与△ACD中，∠B=∠DAC，∠BDA=∠ADC=90°，△BAD∽△ACD相似， 所以 AD/BD＝CD/AD， 所以（AD）^2=BD·DC 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理由公式（2）+（3）得 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2，这就是勾股定理的结论直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)射影 所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项初中射影定理的内容: 射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中 公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）²=BD·DC， （2）（AB）²=BD·BC ， （3）（AC）²=CD·BC 等积式 （4）ABXAC=BCXAD(可用面积来证明） 欧拉公式（3）三角形中的欧拉公式： 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr 余弦定理4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识网络1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA2．正弦定理：证明：由三角形面积得画出三角形的外接圆及直径易得：3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 证明：如图ΔABC中，当A、B是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA
CABT图1TBAC图2是 △ 的 边上的高，点 为垂足记 ，，，，（见上图）证明（2）：若 △ 是锐角三角形（图1），则由勾股定理有由（1）式得出 ，带入（2）式 ： 展开，即得 ，由此式解得 ，类似于证明（1），得出 ，由于三角形面积 ，由上式即得 若 △ 是钝角三角形（图2），不失一般性，设 ，则由勾股定理有类似于 △ 是锐角三角形的情况，可得 ，因而亦得 若 △ 是直角三角形（图2），不失一般性，设 ，由勾股定理有 故，此时仍有 关于海伦公式（Heron's formula或Hero's formula）的历史海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization）科学传统方面享负盛名。
我国南宋末年数学家 秦九韶 发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积若以大斜记为 ，中斜记为 ，小斜记为 ，秦九韶的方法即相当于海伦公式 西摩松定理 西摩松（R.Simson,1687年~1768年）英国数学家，作为希腊数学的信徒，曾于1756年校订了欧几里德的《几何原本》西摩松定理 从ΔABC的外接圆上任意一点P,向三边BC，CA，AB或它们的延长线引垂线，设垂足分别为D，E，F，则D，E，F三点在同一条直线上这条直线叫做ΔABC的西摩松线 史坦纳定理史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中点M 史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线。