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1、 1 12.10 函数的最值知识梳理求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）0时，由于x、y为实数，故必须有=b2（y）4a（y）c（y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.（3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.（4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.（5）数形结合法：利
2、用函数图象或几何方法求出函数的最值.（6）函数的单调性法.点击双基1.（2003年春季北京）函数f（x）=的最大值是A. B. C. D.解析：1x（1x）=1x+x2=（x）2+，f（x）=，f（x）max=.答案：D2.若x2+y2=1，则3x4y的最大值为A.3B.4C.5D.6解析：x2+y2=1，可设x=cos，y=sin.3x4y=3cos4sin=5sin（+）5.答案：C3.（2004年春季安徽）函数y=x（x0）的最大值为_.答案：4.设x0，y0且3x+2y=12，则xy的最大值是_.解析：x0，y0，3x2y（）262xy6（当且仅当3x2y时等号成立）.答案：65.函数
3、y=|x1|+|x3|的最小值是_.解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，y=|x1|+|x3|=|PA|+|PB|AB|=2.答案：2典例剖析【例1】 （2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m）解：由题意得xy+x=8，y=（0x4）.于是，框架用料长度为L=2x+2y+2（）=（+）x+2=4.当且仅当（+）x=，即x=84时，等号成立.此时，x2.343，y=22.828.故当x为2.343 m，y为2.
4、828 m时，用料最省.【例2】 设f（t）=g（t）=t+（0t40，tN*）.求S=f（t）g（t）的最大值.解：当0t20时，S=（t+11）（t+）=（t+22）（t43）.=10.5，又tN，t=10或11时，Smax=176.当20t40时，S=（t+41）（t+）=（t41）（t43）.t=20时，Smax=161.综上所述，S的最大值是176.【例3】 设0a1，x和y满足logax3logxalogxy3，如果y有最大值，求这时a和x的值.解：原式可化为logax3，即logayloga2x3logax3（logax）2，知当logax时，logay有最小值.0a1，此时y有
5、最大值a.根据题意有aa.这时xa（）.评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.深化拓展已知f（x）=2+log3x（1x9），求函数g（x）=f（x）2+f（x2）的最大值与最小值.解：由f（x）的定义域为1，9可得g（x）的定义域为1，3.又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）23，1x3，0log3x1.当x=1时，g（x）有最小值6；当x=3时，g（x）有最大值13.答案：当x=1时，g（x）有最小值6；当x=3时，g（x）有最大值13.闯关训练夯实基础1.若奇函数f（x）在a，b上是增函数，且最小值是1，则
6、f（x）在b，a上是 A.增函数且最小值是1B.增函数且最大值是1C.减函数且最小值是1D.减函数且最大值是1解析：f（a）=1，f（a）=1.答案：B2.（2003年北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_.解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1x，半径r=.S正=（）2=，S圆=.S正+S圆=（0x1）.当x=时有最小值.答案：3.（2005年北京海淀模拟题）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数.给出下列函数：f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=（
7、sinx+cosx）；f（x）=；f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|.其中是F函数的序号为_.答案：4.函数y=（x0）的值域是_.解析：由y=（x0），得x=0.y3.答案：（，35.求函数y=|x|的最值.解：三角代换.设x=cos，0，（f（x）是偶函数，不必取0，）则y=sin2.ymax=，ymin=0.培养能力6.设函数f（x）=x2+x+的定义域是n，n+1（nN），问f（x）的值域中有多少个整数？解：f（x）=（x+）2+的图象是以（，）为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n，f（x）的值域是f（n），f（n+1）
8、，即n2+n+，n2+3n+.其中最小的整数是n2+n+1，最大的整数是n2+3n+2，共有（n2+3n+2）（n2+n+1）+1=2n+2个整数.7.已知函数g（x）=lga（a+1）x2（3a+1）x+3的值域是R，求实数a的取值范围.解：由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2（3a+1）x+3能取到一切正实数.a=0时，h（x）=x+3，显然能取到一切正实数；a=1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；a0且a1时，h（x）=a（a+1）x2（3a+1）x+3是二次函数，必须有解得a1或0a.综上所述，a的取值范围是，10，.探究创新8.已知函数f（x）=x（1x2），xR.（1
9、）当x0时，求f（x）的最大值；（2）当x0时，指出f（x）的单调性，并用定义证明；（3）试作出函数f（x）（xR）的简图.解：（1）x0，欲求f（x）的最大值，必有1x20，y2=x2（1x2）2=2x2（1x2）（1x2）3=，y=.当且仅当2x2=1x2，即x=时，取“=”，即f（x）max=f（）=.（2）由（1）知，当x（0，时，f（x）单调递增，x，+）时，f（x）单调递减.设x2x10，则f（x2）f（x1）=x23+x2（x13+x1）=（x2x1）（x2x1）（x22+x1x2+x12）=（x2x1）1（x22+x1x2+x12）.当0x1x2时，x2x10，1（x22+x1
10、x2+x12）0.f（x2）f（x1）.f（x）在（0，上递增.当x1x2时，x2x10，1（x22+x1x2+x12）0，f（x2）f（x1）.f（x）在，+）上递减.（3）注：图象过点（1，0）、（0，0）、（1，0），关于原点对称.评述：第（1）题也可用导数解决.（x）=13x2，令（x）=0，x=.又x0，x=.通过检验单调性知，当x=时，f（x）取得最大值，其最大值为，以下解法同上.思悟小结1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为
11、零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.教师下载中心教学点睛利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.拓展题例【例1】 已知二次函数y=f（x）的最大值等于13，且f（3）=f（1）=5，求f（x）的解析式.解：f（3）=f（1），抛物线y=f（x）有对称轴x=1.故可设f（x）=a（x1）2+13，将点（3，5）代入，求得a=2.f（x）=2（x1）2+13=2x2+4x+11.【例2】 已知函数f（x）的定义域为R，且对一切xR，都有f（x+2）=f（2x），f（x+7）=f（7x）.（1）若f（5）=9，求f（5）的值
12、；（2）已知x2，7时，f（x）=（x2）2，求当x16，20时，函数g（x）=2xf（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值.解：（1）由f（x+2）=f（2x），f（x+7）=f（7x）可以发现函数f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称，且f（x）=f（x2）+2=f2（x2）=f（4x）=f7（3+x）= f7+（3+x）=f（10+x）.f（x）是以10为周期的周期函数.f（5）=f（5+10）=f（5）=9.（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）= g（x）= x16，17时，g（x）的最大值为16，最小值为9；x（17，20时，g（x）g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，g（x）max=36，g（x）min=9.
