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1、第二节函数的单调性与最值2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。2016，天津卷，13,5分(函数的单调性、奇偶性)2014，全国卷，16,5分(函数单调性)1.主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题；2.题型多以选择题、填空题为主，若与导数知识交汇命题则以解答题的形式出现，属中高档题。微知识小题练自|主|排|查1增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x
2、1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间。3函数的最大值与最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值。(2)对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f
3、(x0)M，那么我们称M是函数yf(x)的最小值。4函数单调性的两个等价结论设x1，x 2D(x1x 2)，则(1)0(或0)f(x)在D上单调递增；(2)0(或0)的递增区间为(，和，)；递减区间为，0)和(0，且对勾函数为奇函数。6函数单调性常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1 x 2f(x1)f(x2)x1f(x2)图象法函数图象上升的函数图象下降的导数法导数大于零导数小于零运算法递增递增递减递减复合法内外层单调性相同内外层单调性相反微点提醒1函数的单调性是对某个区间而言的，如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但它在整个定义域即(，0)(0，)内不单调递减，单
4、调区间只能分开写或用“和”连接，不能用“”连接，也不能用“或”连接。2一个函数在某个区间上是增函数，但它的递增区间的范围有可能大，例如f(x)x在0，)上是增函数，但是f(x)的递增区间是(，)。3闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值，求函数最值的基本方法是利用函数的单调性。小|题|快|练一 、走进教材1(必修1P39B组T3改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ayx3，xR Bysinx，xRCyx，xR Dyx，xR【解析】选项B在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D在其定义域内
5、不是奇函数，是减函数。故选A。【答案】A2(必修1P45B组T4改编)设函数f(x)是R上的减函数，那么实数a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.【解析】当x1时，f(x)(3a1)x4a为减函数，则3a10，即a1时，f(x)logax为减函数，则0a1，且3a14a0，即a1。综上，a0时，由题意得2a1(a1)2，即a2；当a0时，a1(2a1)2，即a2，所以a2。故选C。【答案】C4(2016北京高考)函数f(x)(x2)的最大值为_。【解析】f(x)1，x2，x11,01，1(1,2，故当x2时，函数f(x)取得最大值2。【答案】2微考点大课堂考点一 确定函数的单调性【典例
6、1】判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在x1,2上的单调性。【解析】解法一：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10,2x1x24，1x1x24，1。又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。解法二：因为f(x)2ax，而x1,2，所以1，又因为a(1,3)，所以22ax0，即f(x)0，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增。【答案】单调递增，证明见解析反思归纳对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：1可以结合定义(基本步骤为取值
7、、作差或作商、变形、判断)求解。2可导函数则可以利用导数判断。但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断。【变式训练】讨论函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性。【解析】法一(定义法)设1x1x21，则f(x1)f(x2)。1x1x21，a0，x2x10，x1x210，(x1)(x1)0。f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在(1,1)上为减函数。法二(导数法)f(x)。当a0时，f(x)0；所以当a0时，f(x)在(1,1)上是单调递减的。【答案】单调递减考点二 确定函数的单调区间母题发散【典例2】(2016黄冈模拟)函数yf(x)(xR)的图象如
8、图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调递减区间是()A.B，1C(，0) D，【解析】由图象知f(x)在(，0和上单调递减，而在上单调递增。又因为当0a1时，ylogax为(0，)上的减函数，所以要使g(x)f(logax)单调递减，需要logax，即0logax，解得x，1。故选B。【答案】B【母题变式】若将本典例中的“0a1”，则函数g(x)的单调递减区间如何？【解析】由本典例解析知，需logax0或logax，解得x1或x，又因为x0，所以单调递减区间为(0,1，)。【答案】(0,1，)反思归纳确定函数的单调区间的三种方法定义法：先求函数定义域，再利用单调性定义来求解；图
9、象法：图象上升区间为增区间；图象下降区间为减区间；导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。【拓展变式】(1)函数f(x)log(x24)的单调递增区间是()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)(2)yx22|x|3的单调增区间为_。【解析】(1)令tx24，则ylogt。因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)。故选D。(2)由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0)，且f(x)在0,1上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值。【解析】(1)当x1时，函数f(x)为减函数，所
10、以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，a0，此时f(x)在0,1上为增函数，g(a)f(0)；当0a1时，a0，此时f(x)在0,1上为减函数，g(a)f(1)a；当a1时，f(x)1，此时g(a)1。g(a)g(a)在(0,1)上为增函数，在1，)上为减函数，又a1时，有a1，当a1时，g(a)取最大值1。【答案】(1)2(2)1反思归纳利用函数的单调性求函数的最大(小)值，即如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数yf(x)在区间a，c上的最大值是f(b)；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)在区
11、间a，c上的最小值是f(b)。【变式训练】对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_。【解析】依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2时取得最大值h(2)1。【答案】1考点四 函数单调性的应用 多维探究角度一：比较函数值或自变量的大小【典例4】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Acab BcbaCacb Dbac【解析】由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数yf(x)的图象本身关于直线x1对称，所以aff。当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，等价于函数f(x)在(1，)上单调递减，所以ba
