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1、初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,本文就此类题的解题方法进行探索:一、基本方法看增幅(一)如增幅相等(此实为等差数列):对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为:a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例:4、10、16、22、28,求第n位数。分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是:4+(n-1)&time 66n2(二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列)。如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等
2、幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。基本思路是:1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅;2、求出第1位到第第n位的总增幅;3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。举例说明:2、5、10、17,求第n位数。分析:数列的增幅分别为:3、5、7,增幅以同等幅度增加。那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是:3+2&time (n-2)=2n-1,总增幅为:3+(2n-1)&time (n-1)2(n+1)&time (n-1)n所以,第n位数是:2+ n此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了。(三)增幅不相等,但是,增幅同比
3、增加,即增幅为等比数列,如:2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.(三)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧。二、基本技巧(一)标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,。试按此规律写出的第100个数是 。解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。我们把
4、有关的量放在一起加以比较:给出的数:0,3,8,15,24,。序列号: 1,2,3, 4, 5,。容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是n-1,第100项是100(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n、3n有关。例如:1,9,25,49,(),(),的第n为(2n-1)(三)看例题:A: 2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18答案与3有关且.即:nB:2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案与2的乘方有关即:2(四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(
5、三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。例:2、5、10、17、26,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24,序列号:1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为:n-1,所以题中数列的第n项为:(n-1)+2n(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。例 : 4,16,36,64,?,144,196, ?(第一百个数)同除以4后可得新数列:1、4、9、16,很显然是位置数的平方。(六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然,同时加、
6、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见。(七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。三、基本步骤1、 先看增幅是否相等,如相等,用基本方法(一)解题。2、 如不相等,综合运用技巧(一)、(二)、(三)找规律3、 如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧(一)、(二)、(三)找出新数列的规律4、 最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法(二)解题四、练习题例1:一道初中数学找规律题0,3,8,15,24, 2,5,10,17,26, 0,6,16,30,48(1)第一组有什么规律?(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系?(3
7、)取每组的第7个数,求这三个数的和?2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64, (1)5,7,11,19,35,67(2)根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和。(要求写出最后的计算结果和详细解题过程。)3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、 32-12=8&time 1 52-32=8&time 2 72-52=8&time 3 用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差李博士17年来专注中考
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10、除以21,7,8,57,(457)后项为前两项之积 13.平方关系1,4,9,16,25,(36),4966,83,102,123,(146) 8,9,10,11,12的平方后 24.立方关系1,8,27,(81),1253,10,29,(83),127立方后 20,1,2,9,(730)后项为前项的立方 15.分数数列。关键是把分子和分母看作两个不同的数列,有的还需进行简单的通分,则可得出答案1/24/39/416/525/6(36/7)分子为等比,分母为等差2/31/22/51/3(1/4)将1/2化为2/4,1/3化为2/6,可知下一个为2/86.质数数列2,3,5,(7),114,6,
11、10,14,22,(26)质数数列除以220,22,25,30,37,(48) 后项与前项相减得质数数列。7.双重数列。又分为三种:(1)每两项为一组,如1,3,3,9,5,15,7,(21)第一与第二,第三与第四等每两项后项与前项之比为32,5,7,10,9,12,10,(13)每两项之差为31/7,14,1/21,42,1/36,72,1/52,( )两项为一组,每组的后项等于前项倒数*2(2)两个数列相隔,其中一个数列可能无任何规律,但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。22,39,25,38,31,37,40,36,(52) 由两个数列,22,25,31,40,( )和39,38,3
12、7,36组成,相互隔开,均为等差。34,36,35,35,(36),34,37,(33) 由两个数列相隔而成,一个递增,一个递减(3)数列中的数字带小数,其中整数部分为一个数列,小数部分为另一个数列。2.01,4.03, 8.04, 16.07,(32.11)整数部分为等比,小数部分为移动求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列,题目一般已经解出。特别是前两种,当数字的个数超过7个时,为双重数列的可能性相当大。8.组合数列。最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系后,才能较好较快地解决这类题。1,1,3,7,17,41( )A.89B.99 C
13、.109D.119选B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项*2 第一项65,35,17,3,( )A.1B.2C.0D.4选A。平方关系与和差关系组合,分别为8的平方 1,6的平方-1,4的平方 1,2的平方-1,下一个应为0的平方 1=14,6,10,18,34,( )A.50B.64C.66D.68选C。各差关系与等比关系组合。依次相减,得2,4,8,16( ),可推知下一个为32,32 34=666,15,35,77,( )A.106B.117C.136D.163选D。等差与等比组合。前项*2 3,5,7依次得后项,得出下一个应为77*2 9=1632,8,24,64,( )A.
14、160B.512C.124D.164选A。此题较复杂,幂数列与等差数列组合。2=1*2的1次方,8=2*2的平方,24=3*2的3次方,64=4*2的4次方,下一个则为5*2的5次方=1600,6,24,60,120,( )A.186B.210C.220D.226选B。和差与立方关系组合。0=1的3次方-1,6=2的3次方-2,24=3的3次方-3,60=4的3次方-4,120=5的3次方-5。1,4,8,14,24,42,( )A.76B .66C.64D.68选A。两个等差与一个等比数列组合依次相减,得3,4,6,10,18,()再相减,得1,2,4,8,(),此为等比数列,下一个为16,倒推可知选A。9.其他数列。2,6,12,20,( )A.40B.32C.30D.28选C。2=1*2,6=2*3,12=3*4,20=4*5,下一个为5*6=301,1,2,6,24,( )A.48B.96C.120D.144选C。后项=前项*递增数列。1=1*1,2=1*2,6=2*3,24=6*4,下一个为120=24*51,4,8,13,16,20,( )A.20B.25C.27D.28选B。每三项为一重复,依次相减得3,4,5。下个重复也为3,4,5,推知得25。27,16,5,( ),1/7A.16B.1C.0D.2选B