《人教版 高中数学【选修 21】习题:第二章2.32.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版 高中数学【选修 21】习题:第二章2.32.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、人教版高中数学精品资料第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时 双曲线方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1已知双曲线1的一条渐近线为yx,则实数a的值为()A.B2C.D4解析:由题意,得,所以a4.答案:D2已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线与直线x3y10垂直,则双曲线的离心率等于()A. B. C. D.答案:C3双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C1 D.答案:B4已知双曲线1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是()A(,) B(,)C. D,解析:由题意知,F(4,0)
2、,双曲线的两条渐近线方程为yx,当过F点的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图形,通过图形可知应选C.答案:C5若双曲线的一个焦点为(0,13),且离心率为,则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c13.又,所以a5,b12,故其标准方程为1.答案:D二、填空题6已知F是双曲线1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|PF|PA|的最小值是_解析:因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|PF|2a4.而|PA|PF|AF|5.两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A,P,F
3、三点共线时,等号成立由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时,满足|PF1|PA|最小,易求得最小值为|AF1|5,故所求最小值为9.答案:97设双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|4|PF2|,则此双曲线离心率的最大值为_解析:依据双曲线的定义得|PF1|PF2|2a,又|PF1|4|PF2|,所以|PF1|PF2|2c,所以e,emax.答案:8若双曲线E:y21(a0)的离心率等于,直线ykx1与双曲线E的右支交于A,B两点则k的取值范围为_答案:(1,)三、解答题9过双曲线1的右焦点F2且倾斜角为30的直线交双曲线于A、B两点,O为坐标原点,F1为左
4、焦点(1)求|AB|;(2)求AOB的面积解:(1)由双曲线的方程得a,b,所以c3,F1(3,0),F2(3,0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得5x26x270所以x1x2,x1x2,所以|AB|x1x2| .(2)直线AB方程变形为x3y30所以原点O到直线AB的距离为d所以SAOB|AB|d.10已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点为F(2,0)(1)求双曲线方程;(2)设Q是双曲线上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M,若|2|,求直线l的方程解:(1)由题意可设所求的双曲线方程为1(a0,b0),则有e2,c2,所以a1,则b,所以
5、所求的双曲线方程为x21.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(2,0),所以l的斜率一定存在,设为k,则l:yk(x2),令x0,得M(0,2k),因为|2|且M,Q,F共线于l,所以2或2.当2时,xQ,yQk,所以Q的坐标为,因为Q在双曲线x21上,所以1,所以k,所以直线l的方程为y(x2)当2时,同理求得Q(4,2k),代入双曲线方程得,161,所以k,所以直线l的方程为y(x2),综上,所求的直线l的方程为y(x2)或y(x2)B级能力提升1P是双曲线1上的点,F1、F2是其焦点,双曲线的离心率是,且F1PF290,若F1PF2的面积是9,则ab的值(a0,b0)等于()A4
6、B7 C6 D5答案:B2如果双曲线1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是_解析:如图,因为OAAF,F(c,0),所以xA,因为A在右支上且不在顶点处,所以a,所以e2.答案:(2,)3已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,)(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:0;(3)求F1MF2的面积解:(1)因为e.所以可设双曲线方程为x2y2(0)因为过点(4,),所以16106,所以双曲线的方程为x2y26,即1.(2)由(1)可知,双曲线中ab,所以c2.所以F1(2,0),F2(2,0)所以(23,m),(23,m)所以(32)(32)m23m2.因为M在双曲线上,所以9m26,所以3m20.所以0.(3)F1MF2的底|F1F2|4,F1MF2的高h|m|,所以SF1MF246.