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1、均值不等式的证明(精选多篇)范文第一篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足hn?gn?an?qn?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2?an时取“=号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)d(0)d(1)d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab(当且仅当a=b时取“=号)，a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b?b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值
2、不等式的证明：方法很多，数学归纳法第一或反向归纳、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设a0，b0，那么?a?b?an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a0，b0可以弱化为a0，a+b0(用数学归纳法)。当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是那么设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2?ak?1s?a1?a2?ak用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?
3、x?lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明半径不小于半弦第二篇：均值不等式证明均值不等式证明一、x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy17/41=x+y2(xy)得xy1/4而xy+1/xy2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy1/4xy+1/xy(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充答复：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy17/4即证4(xy)sup2;-17xy+40即证(4xy-1)(xy-4)0即证xy4，x
4、y1/4而x,yr+，x+y=1显然xy4不可能成立1=x+y2(xy)xy1/4，得证法三：同理0xy+1/xy-17/4=(4xsup2;ysup2;-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy0xy+1/xy17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、abc，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)0a-c=(a-b)+(b-c)2(a-b)*(b-c)于是c-a-2(a-b)*(b-c)即：1/(c-a)-1/【2(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)1/(a-b)+1/(b-c)-
5、1/【2(a-b)*(b-c)】2/【(a-b)*(b-c)】-1/【2(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2(a-b)*(b-c)】0三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an)2、几何平均数：gn=(a1a2.an)(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+.+an)/n4、平方平均数：qn=(a12+a22+.+an2)/n这四种平均数满足hngnanqn的式子即为均值不等式。概念：1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an)2、几何平均数：gn=(a1a2.an)(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+.+an)/n4、平方平均数：
6、qn=这四种平均数满足hngnanqna1、a2、anr+，当且仅当a1=a2=an时劝=号均值不等式的一般形式：设函数d(r)=(1/r)(当r不等于0时);(a1a2.an)(1/n)(当r=0时)(即d(0)=(a1a2.an)(1/n)那么有：当r注意到hngnanqn仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)d(0)d(1)d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)ab(a+b)/2方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设a0，b0，那么(a+b)nan+na(
7、n-1)b。注：引理的正确性较明显，条件a0，b0可以弱化为a0，a+b0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。原题等价于：(a1+a2+an)/n)na1a2an。当n=2时易证;假设当n=k时命题成立，即(a1+a2+ak)/k)ka1a2ak当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，a(k+1)中最大者，那么ka(k+1)a1+a2+ak。设s=a1+a2+ak，/(k+1)(k+1)=s/k+/(k+1)(s/k)(k+1)+(k+1)(s/k)k/k(k+1)用引理=(s/k)k*a(k+1)a1a2a(k+1)。用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式
8、：上凸函数f(x)，x1,x2,.xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，那么有：f1/n*设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln1/n*=ln即(x1+x2+.+xn)/n(x1*x2*.*xn)(1/n)在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。第三篇：均值不等式的证明均值不等式的证明设a1,a2,a3.(更多精彩文章请关注好*)an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+.+an)/nn次(a1*a2*a3*.*an).要简单的详细过程，谢谢!你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把对n做反向数学归纳法首先归纳n=2k的情况k=1。k成立k+1。这些都很简单的用a
9、+b=(ab)可以证明得到关键是下面的反向数学归纳法假设n成立对n-1，你令an=(n-1)次(a1a2.a(n-1)然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。所以得证n=2k中k是什么范围k是正整数第一步先去归纳2，4，8，16，32.这种2的k次方的数一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，比照n小的数进展归纳，指“平方平均大于“算术平均大于“几何平均大于“调和平均我记得好似有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。请赐教!sqrt(a1+a2+.an)/nn次根号(a1a2a3.an)n/(1/a1+1/a2+
10、.+1/an)证明：1.sqrt(a1)2+(a2)2+.(an)2)/n)(a1+a2+.an)/n两边平方,即证(a1)2+(a2)2+.(an)2)(a1+a2+.an)2/n(1)假设你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：柯西不等式变式：a12/b1+a22/b2+.an2/bn(a1+a2+.an)2/(b1+b2.+bn)当且仅当a1/b1=a2/b2=.=an/bn是等号成立只要令b1=b2=.=bn=1，代入即可(2)柯西不等式(a12+a22+.an2)*(b1+b2.+bn)(a1b1+a2b2+.anbn)22.(a1+a2+.an)/nn次根号(a1a2a3.a
11、n)(1)琴生不等式:假设f(x)在定义域内是凸函数，那么nf(x1+x2+.xn)/n)f(x1)+f(x2)+.f(xn)令f(x)=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数nf(x1+x2+.xn)/n)=nlgf(x1)+f(x2)+.f(xn)=lga1+lga2+lga3.lgan=lga1*a2.an也即lg1/n(lga1a2a3.an)=lg(a1a2a.an)(1/n)=lgn次根号(a1a2.an)f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+.an)/nn次根号(a1a2.an)(2)原不等式即证：a1n+a2n+.annna1a2a3.an先证明an+bna(n-1)b+
12、b(n-1)a做差(a-b)(a(n-1)-b(n-1)02*(a1n+a2n+.ann)a1(n-1)a2+a2(n-1)a1+a2(n-1)a3+a3(n-1)a2.an(n-1)a1+a1a(n-1)an=a2(a1(n-1)+a3(n-1)+a3(a2(n-1)+a4(n-1).a2a1(n-2)a3+a2a3(n-2)a1+.2na1a2.an即a1n+a2n+.annna1a2a3.an(3)数学归纳法:但要用到(1+x)n1+nx这个不等式，不予介绍3.n次根号(a1a2a3.an)n/(1/a1+1/a2+.+1/an)原不等式即证：n次根号(a1a2a3.an)*(1/a1+
13、1/a2+.+1/an)n左边=n次根号+n次根号+n次根号+.n次根号由2得和n*n次根号(它们的积)所以左边n*n次根号(1)=n所以(a1a2a3.an)n/(1/a1+1/a2+.+1/an)证毕特例：sqrt(a2+b2/2)(a+b)/2sqrt(ab)2/1/a+1/b证明：1.sqrt(a2+b2/2)(a+b)/2两边平方a2+b2(a+b)2/4即证(a/2-b/2)20显然成立2.(a+b)/2sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b)0显然成立此不等式中a+b可以表示一条直径的两局部，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r弦的一半3.s
14、qrt(ab)2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt(ab)*(1/a+1/b)2而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)2。第四篇：均值不等式及证明一、均值不等式一概念：第五篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong数学之家本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是an?gn:一些大家都知道的条件我就不写了x1?x2?.?xnn?x1x2.xn我曾经在?几个重要不等式的证明?中介绍过柯西的这个方法，如今再次提出：二维已证，四维时：a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八维时:(a?b?c?d)?(
