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1、“多面体欧拉公式的发现”教学实录【教学内容】高二数学第二册第九章第九节研究性学习课题。【教学过程】足球在老师的手指头上旋转，在同学们的赞许声、欢呼声中，拉开了探究性教学的序幕。一、问题A：足球表面是由什么样的几何图形组成的？问题的提出引起了同学们的兴趣，只见他们有的写，有的说，有的翻书查阅，有的互相交流。很快，他们有了自己的见解。有的同学说：“是由五边形组成的。”这种说法遭到了一部分同学的反对，他们的观点是：足球球面是由六边形组成的。双方展开了辩论，各说理由争执不下。这时有一位同学站起来说：“足球球面是由五边形和六边形组合而成的”。这一问题的提出给沸腾的课堂泼了一桶冷水，顿时安静了下来，这个答
2、案对吗？他们把咨询的目光投向了老师，以求答案。老师笑而不答，示意同学们再思考一下。一会儿，老师说：“同意由五边形组成的同学坐在右边，同意由六边形组成的同学坐在中间，同意由五边形和六边形组成的坐在左边，继续探究”。同学们都没动，看样子他们是对自己的结论缺乏足够的信心。“足球球面是由五边形和六边形组成的”这个结论是否正确呢？我们可以来看一看这个足球。此时同学们的目光都集中在了老师手中的那个足球上了。“这是一个五边形”，“这个是六边形”，同学们十分认真的数着。老师笑了笑说：“现在大家该知道正确的答案了吧？”“足球球面是由怎样的图形组成的呢？是由五边形和六边形组成的。”老师自问自答道。那么我再问一个问
3、题：“请问足球球面分别是由几个五边形和六边形组成的呢？”二、问题B：足球球面分别是由几个五边形和六边形组成的？多媒体大屏幕展示着几个几何图形。“多面体是由若干个平面多边形围成的几何体”几个黑体字赫然醒目。表1图形编号顶点数V面数F棱数E4468612681298159916注：数字由学生填写。这些图形是多面体吗？顶点数为V 、面数为F、棱数为E。请按图形顺序填入表格中。老师又发给同学们一张表。同学们又忙碌起来，点点划划，一会儿就完成了。“请对比观察表1中的各组数据，并猜想V、F、E之间有什么规律”，老师将正确的表格填写展示在大屏幕上。此时同学们在观察，在思考，可没一个人回答。老师叫起一位学生回
4、答。他说：“没发现规律。”师：“如果V与F相加之后呢？”生：“V与F相加之后比E大2”。师：“能给出式子来吗？”生：“VFE2”。师：“太棒了，给点掌声。”教室内响起了热烈地、祝贺的掌声。我们思考一下所发现的规律是不是“放之四海而皆准”的规律呢？我们再看一组图形。大屏幕上又出现一组图形，要求填入表2并与表1对比。问表1中的规律能否适用于表2。表2图形编号顶点数V面数F棱数E5581212247812注：数字由学生填写。经过对比同学们发现符合，不符合。“这是为什么？”“难道我们发现的规律错了吗？”同学们七嘴八舌地说。“不是的，好像是与前面的图形不同类。是比较特殊和复杂的，而较简单，我们发现的规律
5、好像是对一些简单的多面体成立。”老师笑了笑说：“是这样的吗？我们来分析一下。”老师没有肯定或否定学生的想法，而是从口袋里拿出一个气球并开始往里吹气，气球变为球体，“大家思考一下我们把的表面蒙上橡皮膜也往它的内部充气，注意以不破裂为限，你想想它是一个什么样的形状？”老师故意停顿了一下，让学生想像。教室里静了一下，有一位学生很小声地说了一声“球”之后，同学们纷纷说出了“是球，是球，就是球！”老师说：“除了以外还有哪个蒙上橡皮膜充气后也能成为一个球？”“还有表1的也能变成球体。”“那么以上可以变成球体的多面体满足公式吗？”大家异口同声“满足！”“哪些不满足呢？是吗？那么这两个多面体蒙上橡皮膜之后充气
6、将变成什么形状？”老师又拿出了一个气球吹了一个长长的，让其首尾相连问：“图充气后是这个样吗？”又拿出一个气球，在中间系了一根绳子再往里吹气气球变为两个对接球面。“图充气后是这个样吗？”我们把表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体，请你们大胆地总结一下它的规律。课堂又热闹起来了，最后达成共识：对于简单多面体，它的顶点数V、面数F、棱数E之间存在规律：VFE2。同学们，今天我们总结出来的公式叫做欧拉公式。大屏幕出现欧拉的照片与生平，老师介绍了欧拉的生平事迹。今天，我们就是沿着他们的足迹来探讨这个公式的。接着由学生自己去探讨足球的面数问题，得出足球球面共有12个五边形和20个六边形。（方法：亲自
7、去数一数）从今天的探究中，你是否明白一个道理，只要你敢于发现规律，敢于大胆地想像，你就有可能成功！三、欧拉公式的应用大屏幕上显示出这段文字。1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60（足球烯）有重大贡献的三位科学家。C60是由60个C原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种。计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？你会运用欧拉公式计算吗？同学们都在思考。一位同学站起来回答：“12个五边形和20个六边形，因为足球是由12个五边形和20个六边形组成的，C60又与足球结构相同，所以有以上的答案。” “太棒了，这
8、位同学的回答使我想起了一位数学家的故事。一道数学题是1+2+3+4+100等于多少？当大家都在计算的时候，一个人马上站起来回答了出来。老师和同学们都惊呆了。老师问他怎么这么快就计算出来。他回答说：“1+100、2+99、3+98一共50组50个10l，答案就是5 050。”这个人就是著名的数学家高斯，他就是敢于发现规律，善于发现规律。这位同学与高斯的相同之处就是善于发现规律“类比”，掌声鼓励！你会运用欧拉公式计算吗？科学不仅要有敏锐的观察力，而且需要踏实认真、严谨的工作作风。好，同学们，让我们在知道答案的情况下去验证答案。同学们最后利用欧拉公式得出。解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面数各有x个和y个。多面体的顶点数V=60，面数Fxy，棱数E(360)/2。根据欧拉公式，可得60（xy）(360)/22。另一方面，棱数也可由多面体的边数来表示，即(5x6y)/2(360)/2。由以上两方程可解出x12，y20。答：C60分子中形状为五边形和六边形的面数各有12个和20个。同学们在愉快而又紧张的学习中迎来了下课的铃声。大屏幕上出现了几个大字：课外题目（课外探究）：有没有棱数为7的简单多面体？
