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1、长方体的体对角线与棱长的关系长方体与球CBADO1长方体的外接球。截面图如右图:实质构造直角三角形,联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。2.球与正方体内接,外切,棱切问题; 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A 1: B 1:3 C 1:3 D 1:93正三棱柱的内切求,外接球图6例题:已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上,又知球与此正三棱柱的5个面都相切,求球与球的体积之比与表面积之比。分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。解:如图6,由题意得两球心、是重合的,过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面,设正三棱柱底面边长为,则,正三棱柱的高为,由中,得,棱锥
2、的内切、外接球问题图1例.正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 内切球半径为: 外接球半径为: 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。解:如图1所示,设点是内切球的球心,正四面体棱长为由图形的对称性知,点也是外接球的球心设内切球半径为,外接球半径为正四面体的表面积正四面体的体积, 在中,即,得,得【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为 ( 为正四面体的高),且外接球的半径,从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。割补法补型还原法(1)将正四面体补成正方体。(2)将相对棱长相等的三棱
3、锥补成长方体。 (3)将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示,。例 :已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且长度分别为3,4,5.求该三棱锥外接球的体积。解:将三条侧棱PA,PB,PC两两垂直三棱锥P-ABC补成一个长方体,(如上图所示),则两两垂直的三条侧棱就是长方体的长、宽、高,所以该长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径。 设三棱锥外接球的直径为2R,则 所以球的体积。分割法 对于给出的一个不规则的几何体,不能直接套用公式,常常需要运用分割法,按照结论的要求,将原几何体分割成若干个可求体积的几何体,然后再求和例2:如图4,已知直三棱柱的体积为V,点、
4、分别是侧棱上的点,且,求四棱锥的体积。 分析:由于所求四棱柱的高及底面APQC的面积都不易求得,因此考虑将四棱锥B-APQC分割后求解。解:如图4,连接PC,将四棱锥B-APQC分割成两个三棱锥B-APC和B-PCQ,因此连接AQ,因为所以三棱锥B-PCQ的体积。又所以。等积变换法 等积变换法也称等积变形法或等积转化法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法。求三棱锥的体积时可采用此方法。例:如图1所示,在边长为的正方体中,分别是棱上的点,且满足,试求三棱锥的体积习题例题:1。正方体的全面积是24,它的顶点都在同一球面上,这个球的表面积是 解析:显然,球是正方体的外接球,a=2,则R=
5、,S=12。2一个球与棱长为1 的正方体的12条棱都相切,则球的体积 解析:如果明确了上面的结论,问题很容易解决。R=1=V=3将棱长为1 的正方体削成体积最大的球,则球的体积为 解析:削成体积最大,即要求球是正方体的内切球,与正方体的俄各面都相切。R=,V=。4P、A、B、C、是球O面上的四个点,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则球的体积是 解析:同过条件分析,可采用把三棱锥补形成正方体,则球是正方体的外接球,所以R=,V=。.5是一个正方体,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?分析:
6、因为锯掉的是正方体的一个角,所以HA与AG、AF都垂直,即HA垂直于立方体的上底面,实际上锯掉的这个角,是以三角形AGF为底面,H为顶点的一个三棱锥.解:设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a3.三棱锥的底面是RtAGF,即FAG为90,G、F又分别为AD、AA1的中点,所以AF=AG=.所以AGF的面积为.又因AH是三棱锥的高,H又是AB的中点,所以AH=.所以锯掉的部分的体积为.又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.6.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9,则球的表面积是_.分析:画出球的轴截面,则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形,又由题意得截面圆的半径是3,则球的半径为=5,所以球的表面积是452=100.答案:100已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2;则此棱锥的体积为_