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1、多自由度系统振动的研究 第 19 页 共 14 页多自由度系统振动的研究摘要：多自由度振动系统在工程技术领域有着广泛的应用，对其研究也日渐完善。本文首先通过分析力学的方法建立多自由度振动系统动力学方程并介绍其解法，其次介绍了多自由度系统求解的几种近似方法(邓克利法和瑞利法)及其应用，最后介绍了利用Matlab程序求解多自由度振动系统的数值解的方法。关键词：多自由度，振动，方程 1 引言人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史，远古时期的先民已有利用振动发声的各种乐器。人们对与振动相关问题的研究起源于公元前6世纪毕达哥拉斯（Pythagoras）的工作，他通过实验观测得到弦线振动发出的声音与弦线
2、的长度、直径和张力的关系。在我国，早在战国时期成书的庄子就已明确记载了共振现象。现代物理科学的奠基人伽利略（Galileo Galilei）对振动问题进行了开创性的研究，他发现了单摆的等时性并利用他的自由落体公式计算单摆周期。胡可（R.Hooke）于1678年发表的弹性定律和牛顿（I.Newton）于1687年发表的运动定律分别为振动力学的发展奠定了物性和物理的基础。欧拉（L.Euler）于1728年建立并求解了单摆在有阻尼介质中运动的微分方程。1739年他研究了无阻尼简谐受迫振动，从理论上解释了共振现象。1747年他对个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现系统
3、的振动是各阶简谐振动的叠加。1762年拉格朗日（J.L.Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。 在许多机械系统，根据其工作状况，简化成一个单自由度或两自由度系统的理论模型，以满足对其动态特性进行分析的要求。事实上，所有机械系统都是由具有分布参数的元件所组成，严格地说，都是一个无限多自由度的系统（或连续系统，分布参数系统）。根据结构特点和分析要求，把有些元件或其部分简化成质量，而把有些元件或其部分简化成弹簧，用有限个质量、弹簧和阻尼去形成一个离散的、有限多的集中参数系统，这样就得到一个简化的模型。多自由度系统是对连续系统在空间上的离散化和逼近，由于计算机技术的广泛应用，有限元分析和实验
4、模态分析技术的发展，多自由度系统的理论和分析方法显得十分重要。 实际工程结构复杂而不规则，难以精确求解，于是各种近似计算方法相继被提出。1873年瑞利（J.W.S.Rayleigh）基于系统的动能和势能分析给出了确定基频的近似方法，里茨（W.Ritz）发展了瑞利法使之推广为几个低阶固有频率的近似计算。1894年邓克利（S.Dunkerley）分析旋转轴振动时提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的简单实用方法。1904年斯托德拉（A.Stodola）计算轴杆频率时提出一种逐步近似方法，成为矩阵迭代法的雏形。1902年法摸（H.Frahm）计算船主轴扭振时提出离散化的思想，以后发展为 确定轴系和梁
5、的频率的实用方法。1950年汤姆孙（W.Thomson）将这种方法发展为矩阵形式而最终形成传递矩阵法。 在解决系统的振动问题时，常常借助计算机来完成，为求解多自由度系统的振动带来了很大的方便，但不同的计算机语言直接影响着编程的繁琐程度和解决问题的快慢程度。MATLAB作为一种高效的工程语言，将计算、可视化和编程功能集于一个易于使用的环境，提高了编程效率，还可以利用其绘图功能对结果进行直观地分析。2 多自由度振动系统动力学方程 2.1 系统的势能和动能建立系统的动力学方程可以采用牛顿力学与分析力学的任何一种方法。对于多自由度系统，采用分析力学方法更便于得到动力学方程的普遍形式。设系统具有个自由度
6、，以个广义坐标表示系统的位形。系统的势能为广义坐标的函数，在平衡位置处满足2 （1）将平衡位置取作广义坐标的零值，则广义坐标也表示系统相对平衡位置的偏移。当系统在平衡位置附近作微振动时，广义坐标及其导数均为小量。设势能在平衡位置处也取零值，将在平衡位置附近展成泰勒级数1只保留广义坐标的二阶微量，考虑条件（1），导出 （2）其中系数均为常数，定义为 括号外的下标“0”表示在平衡位置处取值，常数被称为系统的刚度系数且满足。于是，系统的势能可以进一步表示为此式中的方阵称为刚度矩阵，常用记之，是阶对称正定方阵。 设系统受定常约束，其动能为广义速度的二阶齐次函数 （3）其中系数为广义坐标的函数，且有。系
7、统作微振动时，只保留广义坐标和速度的二阶小量，系数可用平衡位置处的值代替而成为常系数。这样，系统的动能最终可近似表达为3 次式中的方阵称为质量矩阵或惯性矩阵，常用记之，是阶对称正定方阵。引入广义坐标列阵,则 , （4）2.2 动力学方程设为与广义坐标对应的非保守力，为拉格朗日函数，拉格朗日第二类方程的一般形式为1 将式（2）和（3）代入拉氏方程，导出多自由度系统的动力学方程 （5）动力学方程（5）可写成矩阵形式 （6）其中为非保守力构成的矩阵。讨论保守系统的自由振动时，令，方程简化为 （7）动力学方程（6）有明确的物理意义，即弹性恢复力、惯性力与非保守力平衡。将动力学方程（6）各项左乘的逆阵化
8、作另一形式 （8） 其中称作系统的柔度矩阵，各元素称作柔度影响系数。令方程（8）中，得到保守系统自由振动的另一种形式动力学方程 （9）其中矩阵称作系统的动力矩阵。 无外力作用的多自由度系统受到初始扰动后，即产生自由振动。将线性动力学方程（7）中的广义坐标列阵改用表示，得到 （10） 此方程有以下特解 （11）此特解表示系统内各个坐标偏离平衡值时均以同一频率和同一初相角作不同振幅的简谐运动。式（11）也可写作矩阵形式 （12）将上式代入方程（10），化作矩阵和的广义本征值问题 （13）有非零解的充分与必要条件为系数行列式等于零4 即 （14）这是关于的次方程，称为系统的本征值方程。方程有的个正实
9、根，即系统的本征值。每个本征值所对应的为系统的个固有频率。其中的最低固有频率称为系统的基频。2.3 保守系统运动方程的解法由式（14）可得系统的个本征值，对应每个本征值 ，式（13）存在的一组非零解，记作。于是，我们得到式（10）的组特解是5 ， 为系统的固有振型，而系统运动微分方程的通解则可表示成 ， (15)图1 三振子弹性系统x1x2kmmMkx3 例1：如图1所示，两个弹簧连接三个质点组成的一维振动系统，其中弹簧的劲度系数均为，中间质点的质量为，两端点的质量为。解：以图1所示的三个质点相对自身平衡位置的位移作为广义坐标， 并以向右的位移为正，则系统的动能和势能分别是 由方程式（10）
10、其中设解的形式为 , 由式（13）和式（14）可得相应的本征值方程由此解得 由式（13）得对本征矢量为，则对本征矢量为，则，系统作纯平动。对本征矢量为，则故系统振动微分方程的通解为：积分常数和由初始条件确定。 2.4 多自由度系统的受迫振动 多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫振动。设自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励。将（6）的广义坐标列阵写作，右项以代入，得到系统的受迫振动方程1 （16）其中为复数列阵，其实部或虚部为实际广义坐标，分别为余弦或正弦激励的响应，为激励频率，为广义激励力的幅值 2.5 有阻尼的多自由度系统 任何实际的机械系统都不可避免地存在阻
11、尼因素，如材料的结构阻尼、介质的粘性阻尼等。一般情况下，可将各种类型的阻尼都化作等效粘性阻尼。假定阻尼力为广义速度的线性函数，写出 （17）其中称为阻尼影响系数。在利用拉氏方程推导系统的动力学方程时，考虑阻尼力的作用，将式（17）加入方程（5）的右边，得到 令，改用表示，将上式写作矩阵形式，得到有阻尼多自由度系统的振动方程1 （18）其中称作系统的阻尼矩阵。3 多自由度系统求解的几种近似方法 3.1 邓克利法若将特解（12）代入（9）形式的自由振动方程为 （19）将（11）代入方程（19），转化为动力矩阵的本征值问题 （20）其中参数为频率平方的倒数 的非零解条件要求方程（20）的系数行列式为零 设,上式写作
