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1、固体力学论文晶格振动与固体热容研究摘要：本论文属于固体物理学范畴，主要针对于晶格振动对固体热容量的探讨。包括引言和五大部分：第一部分讨论了关于晶格振动的基础知识，其中包括简正运动；爱因斯坦和德拜理论；晶格的状态方程；第二部分讨论了固体热容的基础知识，其中包括固体热容量的经典理论，在固体热容的经典理论不适用的情况下发展出固体热容的量子理论和锐利金斯理论；第三部分讨论了固体热容受哪些因素影响，其中包括对固体热容能够产生影响的有两方面：一是晶格振动，二是电子气体运动，分析了晶格振动对固体热容量的影响，以及金属电子气体对固体热容的贡献；第四部分是结束语；第五部分是参考文献。关键词：晶格振动；固体热容量
2、；电子 Research of Lattice Vibration and Solid Heat CapacityAbstract: This paper is belonging to solid physics areas, main on discussion of Yu Jing grid vibration on hot capacity of solid，including introduction and five parts: the discussion of the first part is on foundation knowledge of lattice vibra
3、tion, which includes Jane movement, Einstein and Debye theory, state equation of lattice; the discussion of the second part is foundation knowledge of heat capacity of solid, which includes classic theory of hot capacity of solid, in the situation of classic theory of heat capacity of solid not appl
4、ying, develop out quantum theory of heat capacity of solid and sharp jeans theory; the discussion of the third part is about heat capacity of solid, which factors effect it, which includes two aspects of heat capacity of solid to produced effect: one is lattice vibration, the other is electronic gas
5、 movement, analyze the lattice vibration effecting on heat capacity of solid and metal electronic gas contribution to heat capacity of solid; the forth part is conclusions ;the fifth part is reference literature; Key words: lattice vibration, heat capacity of solid; electronic目 录引言1一、 晶格振动的基础知识2（一）
6、简正振动2（二） 爱因斯坦和德拜理论5（三） 晶格的状态方程13二、 固体热容的基础知识14（一） 固体热容量的经典理论14（二） 固体热容量的量子理论15（三） 瑞利金斯理论16三、 晶格振动对固体热容的影响17(一）金属电子对固体热容的影响18(二）晶格振动对固体热容的影响21结束语22参考文献25晶格振动与固体热容研究引言在前两个世纪之中，晶体的几何规则性的研究有很大的发展。当时已经从理论上推断，晶体的这种宏观的规则性，是晶体中原子分子规则排列的结果。在这一世纪，X射线衍射方法的发展直接验证了这一结论。晶格振动( ) 就是晶体原子在格点附近的热振动，这是个力学中的小振动问题, 可用简正振
7、动和振动模来描述。由于晶格具有周期性，则晶格的振动模具有波的形式，称为格波。一个格波就表示晶体所有原子都参与的一种振动模式。格波可区分为声学波和光学波两类两种模式。格波能量的量子称为声子，有声学波声子和光学波声子之分。晶体的比热、热导、电导等都与晶格振动（或者声子）有关。晶格振动的意义远不限于热学性质，电子已经光子和晶体的相互作用等微观过程都涉及晶格振动。原子的规则排列以及由此产生的几何规则性，是晶体物质共同的也是最基本的特点，是研究晶体的宏观性质和各种微观过程的重要基础。本文将分析晶格振动对固体热容有何影响。晶格振动的研究，最早是从晶体热容性质开始的。热运动在宏观性质上最直接的表现就是热容量
8、。上一世纪根据经典统计规律对杜隆珀替经验规律的说明,是把热容量和原子振动具体联系起来的一个重要成就。但是，上一世纪大量的实验研究已经表明杜隆珀替定律虽然在室温和更高的温度对广泛的固体基本上是适用的。然而，在较低的温度，固体的热容量开始随温度降低而不断下降。为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克的量子假说。第一次提出了量子的热容量理论，得出热容量在较低温度范围下降，并在趋近于0时趋于0的结论。这项在量子理论发展中占有重要地位的成就，对于原子振动的研究也有重要的影响。量子理论的热容量值和经典理论不同，它与原子振动的具体频率有关，从而推动了对晶体原子振动进行具体的研究1，2，3。一、晶格振动的基础知
9、识（一）简正振动从经典力学看，晶格振动是一个典型的小振动理论问题，如果晶体中包含个原子，和 ()分别表示它们的质量和偏离格点的位置矢量,我们对3个变量:, (1-1) 通过一定的正交变换,可以引入所谓简正坐标 ， (1-2)用这种坐标表示，可使动能和势能分别化为一些平方项之和: =(+) (1-3)=（+） (1-4)势能的系数为正值，这里写成,，表明原来原子在格点上是一稳定平衡的状态。由动能和势能公式，可以直接写出哈密顿量 (1-5)其中=，应用正则方程得到+=0， (1-6)表明各简正坐标描述独立的简谐振动,是振动的圆频率。根据经典力学写出的哈密顿量(1-5)式,可以直接用来作为量子力学分
10、析的出发点，只需要把和看作量子力学中的正则共轭算符。按照一般的方法，把写成，就得到波动方程：(-+)()=() （1-7）显然方程（1-7）表示一系列相互独立的简谐振子，各振子的能级具有量子力学中熟知的值（）（=整数） （1-8）把晶体看成一个热力学系统，各简正坐标 (j=1,2, ,3N)所代表的振子构成近独立的子系，可以直接写出它们的统计平均能量 =+ (1-9)令，上式可以写成 = (1-10)对数中的连加式是一个几何级数，可以简单求和: (1-11)代入(1-10)式得 (1-12) 式中前一项为常数，一般称为0点能，后一项代表平均热能。 (1-12)对求微商得到对热容量的贡献： (1
11、-13)和经典理论值比较，首先的区别在于量子理论值与振动圆频率有关。对于即1，把（1-13）中指数按的级数展开，就得到 (1-14)和经典理论值一致。这个结果在量子理论基础上说明了在较高温度是杜隆-珀替定律成立的原因。这一结论是容易想到的，因为当振子的能量远远大于能量的量子（）时，量子化的效应就可以近似忽略。在的极端情形可以忽略（1-13）式分母中的1，得到 () (1-15)这时由于指数因子的（-）为很大的负值，振子对热容量的贡献将十分小。从这里可以看到，根据量子理论，当时，晶体的热容量将趋于01,3。(二) 爱因斯坦和德拜理论爱因斯坦在进行科学研究的工作中，对晶体振动采用了很简单的假设，他
12、假设晶格中各原子的振动可以看作相互独立的，所有原子都具有同一频率。这样，考虑到，每个原子可以沿三个方向振动，共有3个频率为的振动，由(1-13)直接得到 (1-16)我们用(1-16)和一个晶体的热容量 实验值比较时，可以适当选定使理论值与实验值尽可能符合。图1-1表示理论值和实验值的比较。和经典理论比较，爱因斯坦理论的改进是十分显著的，理论能够反映出在低温时下降的基本趋势。但是在低温范围，爱因斯坦理论值下降很陡，与实验不相符。0123456图 1-1: 爱因斯坦理论和实验比较（圆点为金刚石实验值，温度取=1320为单位） 在热容量理论的进一步发展中，德拜提出的理论获得了很大的成功。爱因斯坦把固体中各原子的振动看作相互独立显然是一个过于简单的假设。固体中原子之间存在着很强的相互作用，一个原子不可能孤立地振动不带动临近原子。认真地考虑晶格的振动必须从整个晶体作为一个紧密相关的整体出发。实际上，根据经典的小振动理论，在原来原子坐标和简正坐标间存在着正交变换关系： (1-17)当只有某一个在振动时，,(1-17)化为 = (1-18)这表明，一般讲，一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有的原子（）都参与的振动，而且它们的振动频率
