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1、随机过程的线性变换姓名：徐延林专业：电子工程学号：200904013026指导教师：谢晓霞2012年4月17日、实验目的了解随机过程线性变换的基本概念和方法，学会运用MATLAB软件模拟各 种随机过程的线性变换，对其结果进行仿真分析，并通过实验了解不同随机过程 经过窄带系统的输出。二、实验原理（1）均匀分布白噪声序列利用MATLAB函数rand产生;laplace分布的白噪声表达式f （x） = Ce （- x - m 1）（白噪声 m = 0）据此我们可以产生拉普拉斯白噪声序列。（2）自相关函数的估计R (m)=x1n ml-i 七 x(n + m)x(n) N -1 m ln=0MATLA
2、B自带的函数为 xcorr。（3）功率谱的估计先估计自相关函数R （m），再利用维纳一辛钦定理，功率谱为自相关函数 x的傅立叶变换：G (o)=臀1 R (m)e-m=- (N-1)MATLAB 自带的函数为 periodogram、pyulear 或 pburg。（4）均值的估计m =-!-云 x(n)xNn=1MATLAB自带的函数为mean。（5）方差的估计S 2 = N 云x(n) 一 m 2n =1MATLAB自带的函数为var。（6）ARMA模型的理论自相关函数和理论功率谱对于AR模型X （n） = aX （n -1） + W （n），其理论自相关函数和功率谱分别b 2amRx (
3、m) = i(m 0)-b 2G ()=X(1-ae- j )2对于ARMA模型a X(n) + a X(n 1)+a X(n 2) + .+ a X(n N) = b W(n) + bW (n 1)+.+ b W(n M) 012N01M其理论的功率谱密度为G (w) =b 2& ejw kk=0Eaejw kk =0（7）白噪声过有限系统或宽带信号过窄带系统输出信号成正态分布。三、实验内容及结果分析 1.PAM信号的匹配滤波假定信号为脉冲幅度调制（PAM）信号，s（t）=勿A p（t kt ），A等概率取 kskk =0+1和-1两个值，ts=1，信号在信道中传输会受到加性高斯白噪声的污染
4、，在接 收端每一个脉冲要判断发射的是“1”还是“0”。（1）画出信号、信号加噪声的波形；（2）对匹配滤波器输出信号，每隔t秒进行取样（在每个脉冲的结尾时刻取样），取样值与一门限（自行确定）进行比较，超过门限判“1”，低于门限判“0”，画出匹配滤波器输出的波形，并标出取样值。(3) 产生10000个二进制数字(随机产生)，统计输出端检测的误码率。结果分析：clear all;clc;ts=1;s=0;h=0;out=0;wuma=0;c=1;t0=100; a=2.*randint(1,10 0)-1;%随机等概率产生+1和-1t=0:0.01:100; for i=1:100 p1=rectp
5、uls(t-0.5-i.*ts);% 产生单个矩形脉冲p2=rectpuls(-t-0.5-i.*ts+t0); f1=a(i).*p1; f11=a(i).*p1+0.8.*randn(1,10001); f2=a(i).*p2; h1=c.*p1;%产生单个矩形脉冲的匹配滤波器y=conv(f11,h1);%求单个矩形脉冲过匹配滤波器输出波形out=out+y; s=s+f1; h=h+f2; end t1=0:0.01:200; figure; plot(t1,out);title(非量化输出波形); for i=1:10000; if out(i.*2)0 out(i.*2)=1; e
6、lse out(i.*2)=-1;%输出波形量化end output(i)=out(i.*2); if output(i)=s(i) wuma=wuma+1; end end Pwuma=wuma./10 000;% 统计误码率w=0.8.*randn(1,10001); zs=s+w; figure; subplot(2,1,1);plot(t,s);axis(0 100 -5 5);legend(s(t);title(random PAM signal) subplot(2,1,2);plot(t,zs);axis(0 100 -5 5);legend(s(t)+w(n);title(ra
7、ndom PAM + guass noise signal); figure;subplot(2,1,1);plot(0:0.01:99.99,output);axis(0 100 -55);legend( output signal ) ;title(量化后的输出波形);sc=conv(zs,h);%求所有脉冲和信号的匹配输出subplot(2,1,2);plot(t1,sc);legend( The output signal );title(经过相参 累加器后输出波形)；经过运行程序得到相应结果如下(信噪比1:0.8)random PAM + guass noise signal-510
8、2030405060708090100020406080100120140160180200-50102030405060708090100经过相参累加器后的输出100005000020406080100120140160180200-50000量化后输出波形,5I一 ，output signalI耻m印皿ini加匚加顾信噪 比1:0.11:0.51:0.81:1.51:21:31:100误码 率0.0230.1080.1720.3020.3250.3940.462从表格中的数据我们可以看到，信噪比越高，误码率越大，这从实际中也是 很好理解的。为了研究误码率与信噪比的定量关系，我们对上述数据进
9、行拟合得到如下结果:Xp= 0.305。一龙7 扁根据我们自己的理解，当信噪比趋于零时，噪声已将信号完全“淹没”，此 时的匹配滤波器就没有什么作用了，由于原信号是随机生成的二进制序列，那么 此时的输出误码率应该趋近于50%，即理想的误码率与信噪比的关系应该为p= 0.5。error脉宽(*0.01s)12345误码率0.1720.1330.0810.0620.068从上面的结果来看，随着信号脉宽的加大，误码率逐渐降低。这是由于匹配 滤波器总是在脉冲结束的时刻将信号的能量集中起来，信号的脉宽越大，集中的 能量就越多，匹配滤波器的输出信噪比就越大，这就越容易“解码”。单个脉冲信号的能量信号Q -
10、|x|2At （|x|表小脉冲信号的幅度，At表示脉宽）所以匹配滤波器输出信号的信噪比正比于信号的脉宽，由上面的分析我们可 知误码率是与信噪比呈反指数关系的，所以我们可以合理的猜测，误码率与脉冲 信号的脉宽也是呈反指数关系的。其实验拟合效果如下：0,20.180.160.140.120.10.080.060.040.02由上面的拟合关系我们可以看到，误码率的确与信号脉宽呈反指数关系的，由于实验的随机性，上面的数据只能作为一种定性的描述，不能作为定量的关系式。2. 理论值与估计值的对比分析2.1设有AR模型，X (n) = 0.8X (n -1) + W(n),W(n)是零均值正态白噪声，方差为
11、4。(1) 用MATLAB模拟产生X(n)的500个样本，并绘出波形；(2) 用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差；(3) 画出X(n)的理论的自相关函数和功率谱；(4) 估计乂的自相关函数和功率谱。结果分析：N=500;u=0;sigma2=4;a=-0.8;W=u+sqrt(sigma2).*randn(1,N); for n=1:N-1 x(1)=0; x(n+1)=a.*x(n)+W(n+1); end figure; stem(x, .);%画序列波形mu=mean(x); sigma=var(x); for i=1:500Rx0(i) = (sigma2.*(a.八i).
12、/(1-(a.八2);% 计算理论自相关函数end for j=1:1000 if j=500 Rx1(j)=Rx0(501-j);elseRx1(j)=Rx0(j-500); endend%将自相关函数处理成轴对称序列Rx2=xcorr(x)/500; figure;subplot(2,1,1),stem(-500:1:499,Rx1, .),title(理论自相关函数);subplot(2,1,2),stem(-499:1:499,Rx2, .),title(估计自相关函数); Pw=fft(Rx0/5000);f=(0:length(Pw)-1)*1000/length(Pw);figu
13、re;subplot(2,1,1),plot(f,10*log10(abs(Pw),title(理论功率谱);subplot(2,1,2),periodogram(x, twosided ,512,1000),title(估计功率谱 )；经过运行程序，得到x(n)的序列如下图所示，此时该序列的均值为-0.023,方差为9.952。并且该序列的理论和估计的自相关函数以及功率谱如下图示。-101086420-2-4-6-8050100150200250300350400450500-350100200300400500600700800900 1000-500 -400 -300 -200 -10
14、00100200300400500Frequency (Hz)从上面的自相关函数序列中我们可以看到：估计的自相关函数基本上与理论的自相关函数轮廓符合，都是逐渐衰减的序列；所不同的是，随着时间差的增大理论的自相关函数序列是单调减小的，而估计的自相关函数不是单调减小的，它是一个波动的减小过程，这主要是因为信号噪声的影响。估计自相关函数的表达式为1N 寸ml-1R (m)= 乙x(n + m)x(n)n=0xN -1 m l它是与序列双)的值相关的，而双)的表达式中含有噪声分量，所以这就导致估计的才目关函数必然是一个波动减小的过程，并且我们可以断定波动的程度是与 噪声信号的方差呈正才目关的。从功率谱的理论和估计结果来看，我们同样可以发现，
