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1、第八章常微分方程8-1微分方程的概念定义1：含有未知数的导数或微分的方程叫微分方程。注：未知函数为一元函数的微分方程叫常微分方程，未知函数为多元函数的微分方程叫偏微分方程。定义2：代入微分方程中，使其成为恒等式的函数叫微分方程的解。注：含任意常数的个数等于微分方程的阶数的解叫微分方程的通解，给通解中任意常数以确定值的解叫微分方程的特解。为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定的条件，这些条件叫初始条件。例：验证函数y=2sinx+cosx是一阶微分方程yi+y=0的特解解：由已知函数可得：y0=2cosx-sinx,yi=-2sinx-cosx则函数y=2sinx+cosx是微分
2、方程yi+y=0的特解。例2：验证函数y=Cex2是一阶微分方程y2xy的通解解：由已知函数可得：y0=Cex22x且2xy=2xCex2贝I函数y=Cex2是微分方程y0=2xy的通解。一阶微分方程一、y心f(x)型的方程方法：两边积分可求得含有一个任意常数的通解。例：求微分方程y0=ex+2x-cosx的通解、解：两边积分可得：y=(ex+2x-cosx)dx=ex+x2-sinx+C二、可分离变量的微分方程和齐次方程1. 可分离变量的微分方程(1) 形如dy=f(x)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。dx(2) 求解方法：A.将方程分离变量，则有：=f(x)dxg(y)B.等式
3、两边求积分，可得通解为：蝌二=f(x)dx+Cg(y)C.代入初始条件可得相应的特解例1：求微分方程y0=ex-y的通解解：将方程分离变量：eydy=exdx两边求积分：蝌ydy=exdx则ey=ex+C,即y=ln(ex+C)例2：求微分方程x2y0-y=1的通解dy解:将方程分离变量：dxx2两边求积分：蝌塔dxx21+qx1i1=?eC1e-x1由士eq仍是任意常数，因此设C=1eq,则方程通解为y=Ce-x-1注：为方便起见可将ln|y写成Iny,只须知道后面得到任意常数C是可正可负即可。例3：求微分方程y心ycosx满足y|=e的特解x=0解：分离变量：空=cosxdxy两边积分：蝌
4、性=cosxdx，则lny=sinx+Cy将y|=e代入方程得c=1，则微分方程特解为y=esinx+ix=02. 齐次方程(1)形如y0=f()的一阶微分方程，称为齐次微分方程。x2)求解方法可用变量替换y=ux把原方程化为关于x和u的可分离变量的微分方程。yA令u(x)=，贝Iy=ux,两边求导得：y吐ux+ux吐ux+ux则原方程变为：u此+u=f(u)dudxB分离变量得：帀厂=匚Cy两边积分，再把u还原为丄即可得原方程的通解x例1：求微分方程xy0=y(Iny-Inx)的通解解：整理方程得：y0=ln(=)xy吐ux+u,则原方程变为:du分离变量可得：u(lnu-1)dx两边积分：
5、蝌-u(lnu-1)dx，即蝌d(lnu-】)xlnu-1dxln(lnu-1)=lnx+lnC=lnCx,lnu-1=Cxyy将u=代入方程得通解为：ln=1+Cx，即y=xecx+ixxx分离变量：cosudu=dx,两边积分:dx例2：求微分方程y心y+secy的通解xx解：令u=，则y=ux,yi=ux+u,则原方程变为：u此+u=u+secuxxxxxx将u=代入方程得通解为：sin兰=InCxxx则sinu=lnx+lnC=lnCxxxx三、一阶线性微分方程(1) 形如y0+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。当Q(x)=0时，方程为y0+P(x
6、)y=0，称为一阶齐次线性方程。当Q(x)10时，方程为y0+P(x)y=Q(x)，称为一阶非齐次线性方程。(2) 求解方法(常数变易法)A.求一阶齐次线性方程的通解分离变量得：空=-P(x)dx，两边积分得：lny=-6P(x)dx+lnC则y=e蝌(x)+lnC=Ce-P(x)必为一阶齐次线性方程的通解。B.求一阶非齐次线性方程的通解齐次线性方程是非齐次线性方程的特殊情况，因此可以假设把齐次方程的通、解中的常数C换成函数C(x)，即y=C(x)e-6P(x)dx为非齐次线性方程的通解。把假设解代入方程得：(C(x)e-蝌(x)dx)0+P(x)C(x)e-P(x)dx=Q(x)C抵)e-蝌
7、(x)dx+C(x)(e-P(x)dx)+P(x)C(x)e-P(x)dx=Q(x)C0x)e-蝌(x)dx-p(x)C(x)e-P(x)dx+P(x)C(x)e-P(x)dx=Q(x)C0(x)e-6P(x)dx=Q(x)C0(x)=Q(x)e6P(x)dxC(x)=6Q(x)e6P(x)dxdx+C将C(x)代入假设解中，即得一阶非齐次微分方程的通解:y=C(x)e-蝌(x)=e-p(x)(6Q(x)ep(x)+C)xxx例1：求微分方程y0-y=ex的通解解1：先求y0-y=0的通解，分离变量：dy=dxy两边积分：=dx,lny=x+C,y=ex+c1=ec1ex=Cexy1设y=C(
8、x)ex为原方程的通解，代入得：(C(x)ex)0-C(x)ex=exC0(x)ex+C(x)ex-C(x)ex=exC0x)ex=ex即C0x)=1，则C(x)=x+C因此通解为y=ex(x+C)解2：直接利用公式求解由P(x)=-1,Q(x)=ex，则通解为:exe-xdx+C)y=e蝌*(蝌ixe-dxdx+C)=ex(y=ex(x+C)例2：求微分方程y0+1y=x的通解xx1sinx解：由p(x)=,Q(x)=，则通解为：xxy=e-蝌必(0沁e+C)xy=e-inx(O血xeinxdx+C)x11y=(0sinxdx+C)=(-cosx+C)xx例3：求微分方程xy0+y=lnx的
9、通解xxxxxx解：整理方程得：y0+y=xlnxlnxxxxxxx则通解为：y=e-蝌必(0世edx+C)xxxy=e-lnx(olnXeinxdx+C)x1y=(0inxdx+C)x11y=(xinx-0xdx+C)xxy=(xinx-xx+C)，即y=inx-+xxxxxx例4：求微分方程y0y=xex满足y|=2条件下的特解x=0解：由P(x)=-1,Q(x)=xex，则通解为:y=e蝌1x(0xexe-dxdx+C)y=ex(0xexe-xdx+C)y=ex(0xdx+C)x2即y=exG+C)xxxxxx将y|=2代入通解，得C=2，则方程的特解为：y=ex(+2)x=02例5：求
10、微分方程y0ytanx=secx满足条件y|=0的特解x=0解：由P(x)=-tanx,Q(x)=secx,则通解为：y=e蝌xdx(0secx?e-tanxdxdxC)y=e-incosx(0secx?eincosxdxC)y=1(0cosxsecx?cosxdxc)，即y=1(x+C)cosxxxxxy=cosx将y=0代入通解中，得：c=0，则方程的特解为:x=0xxx8-3二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程1. yi=f(x)型的方程解法：通过直接积分的方法可求得含有两个任意常数的通解。例1：求微分方程yi=e3x的通解1解：直接积分两次ye3xdx=e3x+C3111y(e3x+C
11、)dxe3x+Cx+C3i9i22. yi=f(x,y)型的不显含y的方程解法：令y0p(x)，则yi=p(x)，方程可变为关于p与x的一阶微分方程例2：求微分方程y匚匚J1-y2的通解解：令y0p(x)，则yi=p(x)，代入原式得11p0J1-p2，即dp=y；1p2dx、分离变量：-dxV1-p211两边积分：arcsinpx+C，贝Iy0psin(x+C)两边积分：y-cos(x+C)+C12例3：求微分方程xy正yx2的通解解：令y0p(x)，则yi=p(x)，代入原式得xp0-px2即:p0-1pxx11由公式可得：p-e蝌也建蝌eelnx(xe-lnxdx+Cx?dxxC1亍x2
12、+C1x1x3p0p-2y1+y2dp2yp=0，即dy十+C23.yi=f(y,y)型的不显含x的方程解法：令y0=p(y),则yi=p)yp(p(),因此方程可变为关于p和y的一阶微分方程，进而求解。2y例4：求微分方程y11y2=0的通解1+y2解:令y0=p(y)，则yi=p1)?yp(y)p(y)，代入方程得：dp2y分离变量可得：上=dyp1+y2两边积分可得：蝌如=dyp1+y2lnp=0_1dG+y2)=InCG+y2)1+y21p=C(1+y2)1即dy=C(1+y2)dx1分离变量两边积分得：蝌聆=Cidxarctany=Cx+C，即y=tan(Cx+C)1212、二阶常系
13、数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程：如yi+py+qy=f(x),其中p挝R,qR二阶常系数齐次线性微分方程：如yi+py+qy=0,其中p挝R,qR线性相关：若函数f(x)与g(x)之比为常数，称f(x)与g(x)是线性相关的。线性无关：若函数f(x)与g(x)之比不为常数，称f(x)与g(x)是线性无关的。定理：若函数y与y是方程yi+py+qy=0的两个线性无关的解，12则y=Cy+Cy是该方程的通解，其中C,C是任意常数。112212定理：若y*是方程yi+py+qy=f(x)的一个特解，y是方程yi+py+qy=0的通解，则y=y+y*是方程yi+py+qy=f(x)的通解。定理：若函数y与y分别是方程yi+py+qy=f(x)与yi+py+qy=f(x)的1212解，则y=y+y是方程yi+py+qy=f(x)+f(x)的解。1212三、二阶常系数齐次线性微分方程对于二阶常系数齐次线性微分方程yi+py+qy=0，由于p,q是常数，因此yylb应具有相同形式，而y=erx具有这一特点。可设y=erx是方程的解，代入方程得：(erx)i+p(erx)+qerx=0，即(r2+pr+q)erx=0因此r2+pr+q=0时，y=erx是方程的解。定义：r2+pr+q=0称为方程的特征方程，其根称为特征根。关于特征根的
