对回归分析的认识、体会和思考

《对回归分析的认识、体会和思考》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对回归分析的认识、体会和思考（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、对回归分析的认识、体会和思考海口市第一中学 潘峰一、教材分析 1内容编排散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回 归分析的部分内容在数学 3（必修）中已经出现过。在此基础上，本章通过现实生活中遇到的 问题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的 原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下 可以考虑使用线性回归模型。教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相 关指数的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。从残差分析的角度研究所选用的回归模型 是否合

2、适，引导学生初步体会检验模型的思想。为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用 解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生 思考），总结建立回归模型的基本步骤。作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非 线性相关关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。这里所涉及的 非线性相关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。这个例子 没有增加难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合， 但其拟合的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。2学习

3、价值：（1）.数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少 不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息；.现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一个人成功必备的素质。3. 教材处理的优点：1. 总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情；.以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是 一种帮助）.螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；.对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数 学思维能力，培育理性精神。4.

4、重点和难点重点：了解线性回归模型与函数模型的差异；了解判断刻画模型拟合效果的方法相关指数和 残差分析。难点：解释残差变量的含义；了解偏差平方和分解的思想。5目标定位：(1).了解随机误差、残差、残差分析等概念；明确掌握相关关系，回归方程，散点图等定义；.了解回归分析的基本思想，会求回归直线方程，并会用回归直线方程进行预报；掌握建立回归模型的一般步骤；.会用残差分析、判断线性回归模型的拟合效果；.了解相关系数、会用相关系数判断相关关系的强弱；5. 方法指引：1.对于回归分析只通过案例了解方法即可，不论是线性回归方程或者非线性回归方程，都只是模 拟而已，是不确定中的确定性；.了解最小乘法的思想方法

5、，理解回归方程与一般函数的差别与联系；.会用书中介绍的方法搜集资料、分析资料，感兴趣的同学可从互联网上查询相关资料。二、教材中的要点精析：1. 相关关系：自然界中，大量存在着一些变量，它们之间相互联系、相互依存，关系密切。大致 分为两类：一类是函数关系，又叫确定性关系；一类是相关关系，又叫不确定性关系、统计相关关 系。2. 回归分析：是对具有相关关系的两变量进行统计分析的一种常用方法。通俗地讲，回归分析就 是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直 线方程进行预报。3. 回归函数，也叫回归方程。形如y = bx + a的散点图的各个点大致分布在一条直

6、线附近，这种 分析就叫线性回归分析，直线方程叫做回归直线方程。不是形如y = bx + a的回归方程，我们称之 为非线性回归方程，具体选择何种类型，由经验判断，再分析残差是否异常，确定选择的好与坏。 回归直线：对于一组线性相关关系的数据，其回归直线方程的斜率b和截距a的最小乘法估计公式 分别为：(x - x)(y - y)b = i,(1)a = y - bx,(2)乙(X - X)2ii=1其中X = 工X , y = 工y . (X, y)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心。ninii =1i=1线性回归模型：与函数关系不同，在回归模型y = bx + a + e中的y的值是由x和随

7、机因素e共同确 定的，即x只能解释部分y的变化，因此把x称为解释变量，把y称为预报变量，其中a和b为模型 的未知参数，e是y与bx + a之间的误差。通常e为随机变量,称为随机误差，它的均值Ey = bx + a。 线性回归模型的完整表达式为：y = bx + a + e，其中随机误差e的方差越小，通过回归直线预报 真实值的精确度越高。随机误差e是引起预报值y与真实值y之间误差的原因之一，其大小取决于 随机误差e的方差。再者由于公式(1)、(2)中的a和b分别为截距和斜率的估计值，与真实值a和b 之间也有误差，这也是引起预报值y与真实值y之间误差的另一个原因。4 残差分析因为随机误差是随机变量

8、，因此可以通过这个变量的数字特征来刻画它的一些总体特征。均值是反 映随机变量取值平均水平的数字特征，方差反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差 的均值0,因此可以用方差来衡量随机误差的大小。为了衡量预报的精度，需要估计e的值，通过i样本方差来估计总体方差。解决问题的途径是通过样本的估计值&来估计e的值。ii根据截距和斜率的估计公式(1)、(2)，可以建立回归方程y = bx + a，其中b是b的估计量，a是 a的估计量。对于样本点而言，相应于它们的随机误差为e，其估计值为&，称为相应于数据点ii的残差。类比样本方差估计总体方差的思想，可用9作为y的估计量，其中9是由公式(1)、(2)

9、iii给出的，工(y -9 )2成为残差平方和。可以用残差平方和衡量回归方程的预报精度。通常残差平iii=1方和越小，预报精度越高。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回 归模型来拟合数据。然后，可以通过残差&,来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否12n存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重 估计等，这样作出的图形称为残差图。5散点图表示相关关系的两个变量的一组数据，作为点的坐标，在直角坐标系中描出来得到的图形叫散点图。 散点图使相关关系具有直观性。6

10、回归分析的解题规律：a）在解具体问题过程中，通常是先进行相关检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系时，再 求其线性回归方程；b）相关性检验有几种方法，教材用的是相关系数r和相关指数R2，两者在教材中具有平方关系（在 只有一个解释变量的线性模型中R2恰好等于相关系数r的平方）。当r 0时，表明两个变量正相关； 当r 0时，表明两个变量负相关。当r越接近于1表示相关程度越好，表明两个变量的线性相关 性越强，r越接近于0,表示相关程度越差，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；同样R2取 值越大，意味着残差平方和越小，模型的拟和效果越好，回归方程的预报精度越高。在线性回归模 型中，R2表示解释

11、变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近1表示回归的效果越好。c）相关程度的强弱，除相关系数的大小之外，与选取的数据个数多少有关，还有一个问题是显著性临界值的选取，教材中点到即止，没有往下交待；d）回归分析计算量大，现在一般用计算机解决，学习中只要求明白原理即可；e）教材中直接选取对数变换是选取比较简单的函数演示而已，还可以做其他函数模拟；f）回归分析中，通常先观察散点图，若分布在一条直线附近，经验证线性相关，则选一次函数，否 则选取其他函数模拟；g）判断两个变量的相关程度通常有：其一相关系数，相关系数r的绝对值越接近于1相关程度越 高；相关指数R2，与r类似，R2的值越大残差平方和越小，拟合

12、越精确。h）判断模拟精确的尺度为：R2 （或残差平方和）的大小。7建立回归模型的一般的基本步骤： 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量； 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）； 由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈现性关系，则选用线性回归方程y = bx + a ）； 按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）； 得出的结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等 等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。典型例题例1已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下x 45424

13、648423558403950y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72x （血球体积，mm）, y （红血球数，百万）画出上表的散点图;（2）求出回归直线并且画出图形（3）若血球体积为49mm,预测红血球数大 约是多少？解：（1）见下图（要学会运用计算机技术辅助我们数学学习，加强直观上的效果，这里要求学生会 运用简单的excel作出散点图，并直接通过计算机拟合出回归直线，具体步骤见本文最后的附录）。数球血红010203040506070血球体积设回归直线为y = bx + a，利用公式（1）、（2）计算得b = 0.1597,a = 0.1364所以所

14、求回归直线的方程为y = 0.1597x + 0.1364，图形如下:数球血红2044血球体积（3）由（2）中求出的回归直线方程，把x二49代入，得y = 7.9617 （百万），计算结果表明，当血球体积为 49mm 时，红血球数大约为7.9617 百万。实战演练1.某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：时间 t （s）5101520304050607090120深度 y （卩 m）610101316171923252946（1）试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程；（2）预测腐蚀时间为80 s时产品腐蚀的深度大约是多少？解: （1）经计算可得b = 0.3

15、043,a = 5.3444故所求的回归直线方程为 y = 0.3043x + 5.3444（2）由（1）求出的回归直线方程，把x = 80代入，易得y = 29.6884（卩m），计算结果表明，当腐蚀80 s时产品腐蚀深度大约为29.6884卩m8非线性回归：在散点图中样本点并没有分布在某个带壮区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，不能直接用线 性回归方程来建立两个变量之间的关系。当回归方程不是形如y = bx + a时，称之为非线性回归方 程。 在一般情况下，比较两个模型的残差比较困难，原因是在某些样本点上一个模型的残差的绝对 值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反。这是可以通过比较两个模型的残差平方和的 大小来判断模型的拟合效果。残差平方和越小的模型，拟合的效果越好。两个模型拟合效果的比较步骤： 对于给定的样本点，两个含有未知参数的模型y二cec2和y二c x2 + c1 3 4其中 c ,c ,c ,c 是未知参数。1234可按如下步骤来比较它们的拟合效果：AA， ， 分别建立对应与两个模型的回归