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1、F3、角平分线比例定理CD“【经典例题】(1)BBD几何证明角平分线模型几何证明角平分线模型（中级）【知识要点】1、角平分线：（1）角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用:证明两条线段相等）；（2）逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用:证明两角相等或一条射线就是一个角的角平分线）。2、角平分线常见用法（或辅助线作法）: 垂两边:如图1,已知BP平分ZABC,过点P作PA丄AB, PC丄BC，则PA = PC。 截两边:如图2,已知BP平分ZMBN，点ABM上，在BN上截取BC = BA,则AABP今ACBP。 角平分线+平行线f等腰三角
2、形：如图 3,已知 BP 平分 ZABC, PA/AC，则 AB 二 AP ；如图 4,已知BP平分ZABC, EF/PB，则BE 二 BF。（利用角平分线+垂Bb如图5,已知AD平分ZBAC，且AD丄BC，则威B二AC, BD二CD。C如图6, AD为AABC的角平分线，则AB = CDAC CD例 1、已知如图，AABC 中，BC = AC, AD 平分 ZCAB,若 ZC = 90。,求证：AB = AC + CD ；例 2、如图，在 RtAABC 中, ZACB = 90。, CD 丄 AB 于 D, AF 平分 ZCAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且 EG/ AB交CB于G
3、。试求：CF与GB的大小关系如何？C例 3、已知如图，AABC 中，BC = AC, AD 平分 ZCAB，若 ZC = 108o,求证：AB = AC + BD ；例4、如图：已知I就是AABC的内心，DI IIAB交BC于点D, El IIAC交BC于E。求证：ADIE的周长等于 BC 。DE例5、如图：已知在AABC 中, ZABC的平分线与ZACB的外角平分线交于点D, DE BC，交AB于点E, 交AC于点F ,求证：EF = BE FC。例6、如图，已知AABC中ABAC二90o, AB二AC, CD垂直于ZABC的平分线BD于D, BD交AC于E,求证:BE 二 2CD。几何证明
4、角平分线模型【提升训练】1、如图，已知AABC的周长就是21, OB, OC分别平分ZABC与ZACB , OD丄BC于D，且OD = 3，求AABC的面积.O2如图, ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60其三条角平分线交于点O,则SA ABO：Sa BCO：Sa cao=3.如图,ZAOB=30,OP 平分ZAOB,PCOB,PD丄OB，如果 PC=6,那么 PD 等于,uD 54如图,AD就是 ABC的角平分线,DF丄AB,垂足为F,DE=DG,A ADG与厶AED的面积分别为50与39,求厶EDF的 面积.5.已知如图在 ABC中,ZACB=90,CD丄AB于D,ZA的平
5、分线交CD于F,BC于E,过点E作EH丄AB于H.求 证:EC=CF=EH.6已知:如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH就是矩形.7如图，等边 ABC中,AO就是ZBAC的角平分线,D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边 CDE，连接BE.(1)求证: ACD 竺ABCE;延长BE至Q,P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长.8如图，已知在厶ABC中，ZB=90，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离都相等，则这个距离就是 多少？8C9.已知:如图在厶ABC中，ZC=90，AD平分Z
6、BAC，交BC于D，若BC=32,且BD:CD=9:7，求:D到AB边的距离.10如图， ABC中，点D在BC上,记厶ABD的面积为S1, ACD的面积为S2,若S1:S2=AB:AC，则AD就是 ABC的 角平分线.请说明理由.11、如图，已知在AABC中，分别以AC, BC为边向外作正ABCE、正AACD , BD与AE交于M，求 证：(1) AE 二 BD。 MC 平分 ZDME。12、已知：如图，AP、CP分别就是AABC外角ZMAC与ZNCA的平分线，它们交于点P，求证：BP为 ZMBN的平分线。13、如图，AB = 2AC, /BAD = ZDAC, DA = DB ,求证：DC
7、丄 AC。14、如图，已知AC BD、EA、EB分别平分/CAB与ADBA, CD过点E，求证：AB = AC + BD。15、如图，AABC 中, AD就是/A的平分线，E,F分别为AB, AC上一点，且/EDF + /BAF = 180。，求证:DE = DF。16、已知：AC 平分 /BAD，CE 丄 AB，/B + /D = 180。，求证：AE = AD + BE。C17、已知，在AABC中，BP、CP为角平分线，过P点作EF /BC交AB于E，交AC于F。 求证：EF = BE + CF。18、已知如图，AD 平分 ABAC, AC = AB + BD ,求证：ZB = 2ZC。1
8、9、如图，在四边形ABCD 中, AC平分ZBAD，过C作CE丄AB于E ,并且AE = 2(AB + AD)，求 证：ZABC + ZADC 二 180。20、已知AABC 中, AB二AC , GE过a且GE/ BC, ZB的平分线与AC与GE分别交于D、E, ZC 的平分线与AB与GE分别交于F、G。求证DE二FG。21、如图，已知线段AB CD, AD与BC相交于点F , BE平分ZABC, AE = 1AD，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出您的结论并予以证明。22、如图，已知 AABC 中，CE平分 ZACB，且 AE 丄 CE, ZAED + ZCAE 二
9、180，求证：DE/BC。23.如图所示，在四边形ABCD中,ZA=90,AD=4,连接BD,BD丄CD,ZADB=ZC.若P就是BC边上一动点，则DP长 的最小值为A24如图所示,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AMBN,ZMAB与ZNBA的平分线交于点E,过点E作一 直线垂直于AM,垂足为点D,交BN于点C.(1) 观察DE、EC,您有什么发现？请证明您的结论；(2) 请您再研究AD+BC与AB的关系，并给予证明.25已知:如图所示,AQ,BM,CN就是 ABC的三条角平分线试说明AQ,BM,CN交于一点.26.如图, ABC 中,ZC=90,AD 就是角平分线,AC=8,AD=，
10、求ZB、BC、AB.27.如图，已知ZBAC=90,AD丄BC 于点 D,Z1=Z2,EFBC 交 AC 于点 F.试说明 AE=CF.28.如图,已知点B,C分别在射线AN,AM上,ZMCB与ZNBC的平分线交于点P.(1) 求证:AP平分ZBAC;_(2) 若ZACB=90,PC=42,PB=5,AB=7，求 AP 的长.29.如图, ABC 中,AC=BC,AD 平分ZBAC，若 AC+CD=AB，求ZC 的度数.30.如图，在 ABC中,ZC=90,M 为AB的中点,DM丄AB,CD平分ZACB，求证:MD=AM.JDC331.如图, ABC中,D为BC的中点,DE丄BC交ZBAC的平
11、分线于E,EF丄AB,交AB于F,EG丄AC,交AC的延长线于 G,试问:BF与CG的大小如何？证明您的结论.32已知:点P为ZEAF平分线上一点,PB丄AE于B,PC丄AF于C,点M、N分别就是射线AE、AF上的点，且PM=PN.当点M在线段AB 上，点N在线段AC的延长线上时(如图1),求证:BM=CN;在的条件下,AM+AN=AC;(3)当点M在线段AB的延长线上时(如图2),若AC:PC=2:1,PC=4,求四边形ANPM的面积.EBPPACcF图1图233.已知:ZDAB=120,AC 平分ZDAB,ZB+ZD=180.如图1,当ZB=ZD时，求证:AB+AD=AC;(2)如图2,当ZB#ND时，猜想(1 )中的结论就是否发生改变并说明理由.C卫B图2图134、如图，已知ZMAN = 120。, AC平分AMAN, ZABC = ZADC = 90。，则能得如下两个结论：DC = BC ； AD + AB = AC ；(1)请您证明结论；(2)在图中，把(1)中的条件“ ZABC = ZADC = 90。”改为/ABC + ZADC = 180。，其她条件不变，则 中的结论就是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。(1)(2)
